Решение задач по векторам
1 В параллелограмме ABCD, диагонали пересекаются в точке О. Точка М находится на стороне BD и имеет равные расстояния
1 В параллелограмме ABCD, диагонали пересекаются в точке О. Точка М находится на стороне BD и имеет равные расстояния до точек В и О. Известно, что АВ = m и АС = n. Переформулируйте, как выразить вектор ВМ через векторы m и n.
2 Дан тетраэдр ABCD. В этом тетраэдре точка К является серединой ребра АС, а точка М является серединой отрезка KD. Длины сторон тетраэдра равны DA = a, DB = b и DC = c. Переформулируйте, как разложить вектор ВМ по векторам а, b и с.
3 Даны векторы а{1; –2; 0}, b{3; –6; 0} и с{0; –3; 4}. Найдите координаты 1 вектора р, который получается из операций 2а – 3 b – с. Переформулируйте, как найти координаты вектора р.
4 Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол φ между векторами AD1 и ВМ, где М является серединой ребра. Переформулируйте, как найти угол φ между векторами AD1 и ВМ.
2 Дан тетраэдр ABCD. В этом тетраэдре точка К является серединой ребра АС, а точка М является серединой отрезка KD. Длины сторон тетраэдра равны DA = a, DB = b и DC = c. Переформулируйте, как разложить вектор ВМ по векторам а, b и с.
3 Даны векторы а{1; –2; 0}, b{3; –6; 0} и с{0; –3; 4}. Найдите координаты 1 вектора р, который получается из операций 2а – 3 b – с. Переформулируйте, как найти координаты вектора р.
4 Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол φ между векторами AD1 и ВМ, где М является серединой ребра. Переформулируйте, как найти угол φ между векторами AD1 и ВМ.
18.12.2023 10:46
Написать свой ответ:
Описание:
1. Вектор ВМ в параллелограмме ABCD можно выразить через векторы m и n следующим образом: ВМ = n + m/2.
2. Для разложения вектора ВМ по векторам а, b и с в тетраэдре ABCD можем воспользоваться следующими формулами:
- Вершина К находится на полпути между вершинами А и С, так что вектор ВК можно выразить как ВК = (а+с)/2.
- Точка М является серединой отрезка KD, значит вектор МК можно выразить как МК = КД/2.
- Таким образом, вектор ВМ можно разложить по векторам а, b и с следующим образо: ВМ = ВК + МК = (а+с)/2 + КД/2.
3. Для нахождения координат вектора р, полученного из операций 2а – 3 b, нужно умножить каждую координату вектора а на 2, каждую координату вектора b на -3, а затем сложить результаты поэлементно. В данном случае, координаты вектора р будут равны:
- x: 2(1) - 3(3) = -7,
- y: 2(-2) - 3(-6) = 10,
- z: 2(0) - 3(0) = 0.
Дополнительный материал:
1. Переформулируйте, как выразить вектор ВМ через векторы m и n.
2. Переформулируйте, как разложить вектор ВМ по векторам а, b и с.
3. Найдите координаты вектора р, который получается из операций 2а – 3 b.
Совет:
Для лучшего понимания и решения задач по векторам рекомендуется изучить основные свойства и операции с векторами, а также научиться работать с координатами векторов, в том числе скалярным и векторным произведением.
Задание для закрепления:
Пусть вектор а{2; -1; 3}, вектор b{4; 2; -2} и вектор с{-3; 0; 1}. Найдите координаты вектора р, который получается из операций 3а - 2 b + 4 c.