Векторы и их операции
1) Точки M(1; 2; 3), N(3; 2; 1) и вектор FD(2; 3; 1) даны, найдите: а) координаты вектора MN б) абсолютное значение
1) Точки M(1; 2; 3), N(3; 2; 1) и вектор FD(2; 3; 1) даны, найдите: а) координаты вектора MN б) абсолютное значение вектора FD в) координаты суммы векторов MN и FD 2) Найдите длину вектора 3M - 2N, если M(2; 0; -3) и N(1; -2; -1) 3) Найдите косинус угла треугольника АВС, если А(0; 1; -1), В(1; -1; 2) и С(3; ...
19.12.2023 03:09
Написать свой ответ:
Инструкция:
1) а) Чтобы найти координаты вектора MN, нужно вычесть из координат точки N координаты точки M. В данном случае M(1; 2; 3) и N(3; 2; 1), поэтому координаты вектора MN будут (3-1; 2-2; 1-3), то есть (2; 0; -2).
б) Абсолютное значение вектора FD - это его длина. Длину вектора можно найти с помощью формулы длины вектора √(a^2 + b^2 + c^2), где a, b, c - координаты вектора. В данном случае вектор FD имеет координаты (2; 3; 1), поэтому длина вектора FD будет равна √(2^2 + 3^2 + 1^2) = √(4 + 9 + 1) = √14 ≈ 3.74.
в) Чтобы найти координаты суммы векторов MN и FD, нужно сложить соответствующие координаты этих векторов. В данном случае координаты вектора MN равны (2; 0; -2), а координаты вектора FD равны (2; 3; 1), поэтому координаты суммы векторов будут (2+2; 0+3; -2+1), то есть (4; 3; -1).
2) Для нахождения длины вектора 3M - 2N нужно сначала вычислить сам вектор, а затем применить формулу для нахождения длины вектора. Вектор 3M - 2N получается путем умножения каждой координаты вектора M на 3 и каждой координаты вектора N на 2, а затем вычитания соответствующих координат: (3*2 - 2*1; 3*0 - 2*(-2); 3*(-3) - 2*(-1)) = (4; 4; -7). Затем находим длину вектора √(4^2 + 4^2 + (-7)^2) = √(16 + 16 + 49) = √81 = 9.
3) Чтобы найти косинус угла треугольника АВС, нужно воспользоваться формулой косинуса угла между векторами: cosα = (AB · AC) / (|AB| * |AC|), где AB и AC - векторы между точками A и B, A и C соответственно, · означает скалярное произведение векторов, |AB| и |AC| - длины векторов.
Сначала вычисляем векторы AB и AC: AB = B - A = (1-0; -1-1; 2-(-1)) = (1; -2; 3), AC = C - A = (3-0; 1-1; -1-(-1)) = (3; 0; -2).
Затем находим их скалярное произведение и длины: AB · AC = 1*3 + (-2)*0 + 3*(-2) = 3 - 6 = -3, |AB| = √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14, |AC| = √(3^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(9 + 0 + 4) = √13.
Теперь можем подставить все значения в формулу и вычислить косинус угла: cosα = (-3) / (√14 * √13) ≈ -0.259.
Дополнительный материал:
1) а) Координаты вектора MN равны (2; 0; -2).
б) Абсолютное значение вектора FD равно примерно 3.74.
в) Координаты суммы векторов MN и FD равны (4; 3; -1).
2) Длина вектора 3M - 2N равна примерно 9.
3) Косинус угла треугольника АВС примерно равен -0.259.
Совет: При работе с векторами полезно запомнить формулы для вычисления длины вектора и скалярного произведения векторов. Также стоит понимать геометрическую интерпретацию операций над векторами, это поможет визуализировать и лучше понять результаты.
Задание: Найдите координаты вектора PQ, если точка P(2; 5; -3), а точка Q(-1; 1; 4). Найдите также длину вектора PQ.