1) Найти расстояние от точки М до стороны ВС треугольника АВС, если из вершины А прямого угла проведён перпендикуляр

Задача 1: Расстояние от точки М до стороны ВС треугольника АВС

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для расстояния от точки до прямой в трехмерном пространстве.

Формула:

Расстояние от точки M до прямой BC можно найти по формуле:

d = ((AM x BC) / |BC|),

где AM – вектор, проведенный из вершины A прямого угла и направленный в точку M, BC – вектор, задающий сторону BC треугольника ABC.

Решение:

1) Найдем вектор BC. Для этого вычтем координаты вершин В и С:

BC = (C - B) = (4 - 3, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0).

2) Найдем вектор AM. Для этого вычтем координаты вершин А и М:

AM = (M - A) = (0 - 0, 0 - 1, 0 - 0) = (0, -1, 0).

3) Найдем скалярное произведение векторов AM и BC:

AM x BC = (0 * 1) + (-1 * 0) + (0 * 0) = 0.

4) Вычислим длину вектора BC:

|BC| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √1 = 1.

5) Подставим значения в формулу:

d = (0 / 1) = 0.

Ответ: Расстояние от точки М до стороны ВС треугольника АВС равно 0 см.

Задача 2: Угол между плоскостями треугольников АВС и DBC

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя плоскостями.

Формула:

Угол между двумя плоскостями можно найти по формуле:

cosθ = (n1 · n2) / (|n1| · |n2|),

где n1 и n2 - нормальные векторы плоскостей.

Решение:

1) Найдем нормальные векторы плоскостей ABC и DBC.

- Для плоскости ABC нормальный вектор равен векторному произведению векторов AB и AC: n1 = AB x AC.
- Для плоскости DBC нормальный вектор равен вектору BD, так как плоскость DBC лежит в плоскости ABC и прямой BD проецируется в вершину С в плоскости ABC.

2) Вычислим векторное произведение векторов AB и AC:

AB = (B - A) = (3 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (3, 0, 0),
AC = (C - A) = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0).

AB x AC = (0 * 0 - 0 * 0, 0 * 0 - 0 * 0, 3 * 4 - 0 * 0) = (0, 0, 12).

3) Нормализуем векторное произведение, чтобы получить нормальный вектор:

|n1| = √(0^2 + 0^2 + 12^2) = √144 = 12.

n1 = (0/12, 0/12, 12/12) = (0, 0, 1).

4) Вычислим нормальный вектор плоскости DBC, который равен вектору BD: n2 = (D - B) = (0 - 0, 0 - 3, 0 - 0) = (0, -3, 0).

5) Вычислим скалярное произведение нормальных векторов:

n1 · n2 = (0 * 0) + (0 * -3) + (1 * 0) = 0.

6) Вычислим длины нормальных векторов:

|n1| = √(0^2 + 0^2 + 1^2) = √1 = 1,
|n2| = √(0^2 + (-3)^2 + 0^2) = √9 = 3.

7) Подставим значения в формулу:

cosθ = (0 / (1 * 3)) = 0.

8) Найдем угол:

θ = arccos(0) ≈ 90°.

Ответ: Угол между плоскостями треугольников АВС и DBC при таком расположении составляет примерно 90 градусов (прямой угол).