1. Найдите площадь и периметр круга, если сторона квадрата, окружающего его, равна 6 см. 2. Вычислите длину дуги

Задача 1:
Круг - это фигура, ограниченная окружностью. У него есть две основные характеристики: площадь и периметр. Чтобы найти площадь круга, мы используем формулу S = πr^2, где r - радиус круга, а π - математическая константа, примерно равная 3,14159. Периметр круга можно найти с помощью формулы P = 2πr.

Дано, что сторона квадрата, окружающего круг, равна 6 см.
Так как квадрат окружает круг, его сторона равна диаметру круга. Диаметр можно найти, разделив сторону квадрата на 2. Также радиус - это половина диаметра.
r = 6 см / 2 = 3 см.

Теперь мы можем найти площадь и периметр круга.
S = π * (3 см)^2 ≈ 28,27 см^2.
P = 2π * 3 см ≈ 18,85 см.

Задача 2:
Для вычисления длины дуги окружности, нам нужно знать ее радиус и угловую меру в радианах. Дуга собирает часть окружности с определенным углом.

Угловую меру нужно преобразовать в радианы. Поскольку полный угол окружности составляет 360 градусов или 2π радианов, мы можем использовать пропорцию:
150° = x радиан,
150 / 360 = x / (2π),
x ≈ 150 * 2π / 360.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле L = r * α, где r - радиус окружности, α - угловая мера в радианах.
L = 10 см * (x радиан) ≈ 10 см * (150 * 2π / 360) ≈ 26,18 см.

Площадь кругового сектора можно вычислить, используя формулу S = (α / 2π) * πr^2.
S = ((150 * 2π / 360) / (2π)) * π * (10 см)^2 ≈ 29,3 см^2.

Задача 3:
Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Это значит, что сумма всех сторон квадрата составляет 16 дм. У квадрата все стороны равны, поэтому каждая сторона квадрата равна 16 дм / 4 = 4 дм.

Сложность в задаче состоит в том, чтобы найти радиус окружности, вписанной в квадрат. Так как диаметр окружности равен длине стороны квадрата, диаметр равен 4 дм. Радиус - половина диаметра, поэтому радиус равен 4 дм / 2 = 2 дм.

Теперь мы можем найти периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность. Правильный пятиугольник состоит из пяти равных сторон. Обозначим длину одной стороны пятиугольника как а.
По формуле периметра окружности P = 2πr, периметр самих многоугольников соответствует окружности. Таким образом, P = 2π * 2 дм.

Длина стороны пятиугольника (a) неизвестна, поэтому выразим ее через периметр квадрата, описанного около окружности: 4 дм = 5а.

А теперь подставим значение стороны пятиугольника: P = 5а = 2π * 2 дм.
Получаем: 5а = 4π.

Таким образом, периметр правильного пятиугольника равен 4π дм или примерно 12,57 дм.