1) Найдите координаты точки М, если точки А и В имеют следующие координаты: а) А(2; 0; 7), В(0; -3;-5); б) В(0;4;0

Тема вопроса: Векторы и координаты точек в трехмерном пространстве

Пояснение:
1) а) Для нахождения координат точки М, мы можем использовать формулу средней точки: М = (А+В)/2. Подставим значения координат точек А и В:
М = (2;0;7 + 0; -3;-5)/2 = (2/2; 0/2; 7/2 - 3/2; -5/2) = (1; -1.5; 1).

б) Для нахождения координат точки М, вычитаем соответствующие координаты точки В из координат точки А:
М = А - В = (0;4;0) - (3;1:1) = (0-3;4-1;0-1) = (-3;3;-1).

2) а) Вектор AB = (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1) = (3 - (-1); 1 - (-2); 2 - 0) = (4;3;2).

б) Вектор BA = (x1 - x2; y1 - y2; z1 - z2) = (-1 - 3; -2 - 1; 0 - 2) = (-4;-3;-2).

в) Вектор BC = (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1) = (2 - 3; -1 - 1; 2 + 4) = (-1;-2;6).

3) а) Для нахождения периметра треугольника ЕТС используем формулу длины отрезка. Длина отрезка вычисляется по формуле √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2. Подставляем значения координат точек:
ПЕТ = √(0 - 6)^2 + (5 - (-7))^2 + (1 - 10)^2 = √36 + 12^2 + (-9)^2 = √36 + 144 + 81 = √261.

б) Медиана - полуотрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения медианы ТТ1 находим середину отрезка ЕС и соединяем ее с вершиной Т:
Т1 = (Е + С)/2 = (0; 5; 1 + 0; -7; 10 + (-19))/2 = (0/2; 5/2; 1/2 - 19/2) = (0; 2.5; -9).
Медиана ТТ1 имеет начало в точке Т и конец в точке Т1 - (6; -7; 10) и (0; 2.5; -9) соответственно.

4*) Расстояние между точками на плоскости находится по формуле длины вектора (т.е. длине отрезка). Для нахождения расстояния между точками К и N вычисляем длину вектора NК по формуле √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2:
НК = √((-4 - 0)^2 + (7 - (-1))^2 + (0 - 2)^2) = √((-4)^2 + 8^2 + (-2)^2) = √(16 + 64 + 4) = √84.

Совет: Решение задач, связанных с векторами и координатами точек в трехмерном пространстве, требует внимательности и аккуратных вычислений. Рекомендуется хорошо понимать математические операции с векторами и основные принципы нахождения координат и расстояния между точками.

Ещё задача: Найдите координаты середины отрезка, заданного точками P(2, -1, 5) и Q(-2, 4, -3).

Тема занятия: Координаты точек и векторы

Инструкция:
1)
а) Для нахождения координат точки М, мы можем использовать формулу средней точки.
Координаты точки М будут являться средними значениями соответствующих координат точек А и В.
Мы находим среднее значение координаты x (2 + 0) / 2 = 1,
среднее значение координаты y (0 + (-3)) / 2 = -1.5,
среднее значение координаты z (7 + (-5)) / 2 = 1.

Координаты точки М: М(1, -1.5, 1).

б) Для нахождения координат точки М, мы можем просто использовать указанные координаты точки М.
Координаты точки М: М(3, 1, 1).

2)
а) Вектор а мы можем получить, вычтя координаты точки А из координат точки В:
= В - А = (0 - 2, (-3) - 0, (-5) - 7) = (-2, -3, -12).

б) Вектор b мы можем получить, вычтя координаты точки B из координат точки М:
= М - В = (3 - 0, 1 - 4, 1 - 0) = (3, -3, 1).

в) Вектор c мы можем получить, вычтя координаты точки B из координат точки А:
= А - В = (2 - 0, 0 - (-3), 7 - (-5)) = (2, 3, 12).

3)
а) Чтобы найти периметр треугольника ЕТС, мы должны найти длины всех его сторон и сложить их.
Длина стороны ЕТ равна длине вектора ЕТ, используем формулу расстояния между точками:
длина ЕТ = √((6 - 0)^2 + (-7 - 5)^2 + (10 - 1)^2) = √(36 + 144 + 81) = √261.

Длина стороны ТС равна длине вектора TC, используем формулу расстояния между точками:
длина ТС = √((0 - 6)^2 + (-19 - (-7))^2 + (0 - 10)^2) = √(36 + 144 + 100) = √280.

Длина стороны СЕ равна длине вектора СЕ, используем формулу расстояния между точками:
длина СЕ = √((0 - 0)^2 + (-19 - 5)^2 + (0 - 1)^2) = √(0 + 576 + 1) = √577.

Периметр треугольника ЕТС = длина ЕТ + длина ТС + длина СЕ = √261 + √280 + √577.

б) Чтобы найти медиану ТТ1, мы должны найти середину отрезка ТТ1, которая будет являться средним значением соответствующих координат точек Т и Т1. Координаты точки Т1 рассчитываются таким же способом, как и в предыдущих задачах (например, М(3, -3, 1)).
Координаты медианы ТТ1 будут средними значениями соответствующих координат точек Т и Т1.
Мы находим среднее значение координаты x (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4.5,
среднее значение координаты y (-7 + (-3)) / 2 = (-10) / 2 = -5,
среднее значение координаты z (10 + 1) / 2 = 11/2 = 5.5.

Координаты медианы ТТ1: ТТ1(4.5, -5, 5.5).

4*) Чтобы найти расстояние от начала координат до середины отрезка, заданного точками К и N, нам нужно сначала найти координаты середины отрезка. Мы можем сделать это с помощью формулы средней точки.

Для нахождения середины отрезка КН, мы можем использовать формулу средней точки.
Координаты середины отрезка будут являться средними значениями соответствующих координат точек К и N.
Мы находим среднее значение координаты x (-4 + 0) / 2 = (-4) / 2 = -2,
среднее значение координаты y (7 + (-1)) / 2 = 6 / 2 = 3,
среднее значение координаты z (0 + 2) / 2 = 2 / 2 = 1.

Координаты середины отрезка КН: КН(-2, 3, 1).

Теперь нам нужно найти расстояние от начала координат до точки КН. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:
расстояние КН = √((-2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = √(4 + 9 + 1) = √14.

Образец использования:
1)
а) Координаты точки М = (1, -1.5, 1).
б) Координаты точки М = (3, 1, 1).

2)
а) Вектор а = (-2, -3, -12).
б) Вектор b = (3, -3, 1).
в) Вектор c = (2, 3, 12).

3)
а) Периметр треугольника ЕТС = √261 + √280 + √577.
б) Координаты медианы ТТ1 = (4.5, -5, 5.5).

4*)
Расстояние от начала координат до середины отрезка КН = √14.

Совет:
Для лучшего понимания координат и векторов, полезно изучить основы алгебры и геометрии. Ознакомьтесь с понятиями координатной плоскости, векторов и формул расстояния между точками.

Задача на проверку:
Найдите координаты середины отрезка, заданного точками P(3, -2, 4) и Q(-1, 6, -5). Найдите расстояние от начала координат до середины этого отрезка.