1) Найдите координаты точки b, если a(-3, 5, -7) и c(6, 2, -1), и точки a и b симметричны относительно точки

Содержание вопроса: Решение задач по векторам

Разъяснение:

1) Для нахождения координат точки b, симметричной точке a относительно точки c, можно использовать формулу для нахождения вектора, соединяющего две точки. Сначала найдем вектор, соединяющий точки a и c:

вектор ab = вектор ac - вектор cb

вектор ac = (6 - (-3), 2 - 5, -1 - (-7)) = (9, -3, 6)

Используя формулу векторного умножения на скаляр, найдем вектор cb:

вектор cb = вектор ac * 2

вектор cb = (9, -3, 6) * 2 = (18, -6, 12)

Найдем координаты точки b:

координаты b = координаты c + координаты cb

координаты b = (6, 2, -1) + (18, -6, 12) = (24, -4, 11)

Ответ: координаты точки b равны (24, -4, 11).

2) Для нахождения результата выражения m = -3a + 2b, где векторы a(3, -2, -1) и b(1, 2, 4), нужно умножить каждый вектор на соответствующий коэффициент и сложить полученные результаты:

m = (-3 * 3, -3 * (-2), -3 * (-1)) + (2 * 1, 2 * 2, 2 * 4)

m = (-9, 6, 3) + (2, 4, 8)

m = (-9 + 2, 6 + 4, 3 + 8)

m = (-7, 10, 11)

Ответ: результат выражения m = (-7, 10, 11).

Для нахождения косинуса угла между векторами a и b можно использовать формулу для скалярного произведения векторов:

cos(θ) = (a * b) / (|a| * |b|)

Где a * b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов a и b.

Для нахождения скалярного произведения, нужно умножить соответствующие координаты векторов и сложить результаты:

a * b = (3 * 1) + (-2 * 2) + (-1 * 4) = 3 - 4 - 4 = -5

|a| = √((3^2) + (-2^2) + (-1^2)) = √(9 + 4 + 1) = √14

|b| = √((1^2) + (2^2) + (4^2)) = √(1 + 4 + 16) = √21

cos(θ) = (-5) / (√14 * √21)

Ответ: косинус угла между векторами a и b равен -5 / (√14 * √21).

Совет: Для успешного решения задач по векторам необходимо хорошо знать правила сложения и вычитания векторов, а также скалярное произведение векторов. Рекомендуется изучить эти основные понятия и принципы на простых примерах, чтобы лучше понять методы решения подобных задач. Также полезно освоить использование математических формул и символов для записи векторов и их операций.

Задача на проверку: Найдите результат выражения n = 2a - 3b, где векторы a(2, -1, 5) и b(3, 4, -2). Также найдите скалярное произведение векторов a и b.

Тема: Векторы и симметрия точек

Описание:
Для решения задачи 1) о симметрии точек, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, симметричной относительно другой точки. Формула состоит из вычитания координат первой точки из координат второй точки, а затем добавления этих разностей к координатам третьей точки.

Для нахождения координат точки b, симметричной точке a относительно точки c, мы можем использовать следующую формулу:
b = 2 * c - a

Подставив значения координат точек a и c в формулу, получим:
b = 2 * (6, 2, -1) - (-3, 5, -7)
b = (12, 4, -2) + (3, -5, 7)
b = (15, -1, 5)

Таким образом, координаты точки b равны (15, -1, 5).

Для задачи 2) о результате выражения m = -3a + 2b, где a и b - векторы, мы можем умножить каждую координату вектора a на -3 и каждую координату вектора b на 2, а затем просуммировать все соответствующие координаты.

Исходя из этого:
m = (-3 * 3, -3 * (-2), -3 * (-1)) + (2 * 1, 2 * 2, 2 * 4)
m = (-9, 6, 3) + (2, 4, 8)
m = (-9 + 2, 6 + 4, 3 + 8)
m = (-7, 10, 11)

Таким образом, результатом выражения m = -3a + 2b является вектор (-7, 10, 11).

Для нахождения косинуса угла между векторами a и b, можно использовать формулу:
cos(θ) = (a * b) / (|a| * |b|)

Где (a * b) представляет скалярное произведение векторов a и b, а (|a| * |b|) - произведение длин этих векторов.

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:
(a * b) = (3 * 1) + (-2 * 2) + (-1 * 4) = 3 - 4 - 4 = -5
|a| = √(3^2 + (-2)^2 + (-1)^2) = √(9 + 4 + 1) = √14
|b| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √(1 + 4 + 16) = √21

Подставим значения в формулу и рассчитаем косинус угла:
cos(θ) = (-5) / (√14 * √21) ≈ -0.4243

Таким образом, косинус угла между векторами a и b примерно равен -0.4243.

Совет:
Для лучшего понимания векторов и их свойств, рекомендуется изучить материал о векторах, скалярном произведении и длине вектора. Также полезно проводить практические задания и самостоятельно применять формулы на различных примерах.

Задача для проверки:
Вычислите длину вектора с координатами (4, -3, 2).