1. Найдите длину третьей стороны треугольника и его площадь, если две известные стороны равны 6 см и 8 см, а между ними

Треугольники и их свойства:

1. Поиск длины стороны и площади треугольника:
При решении этой задачи мы можем использовать теорему косинусов и формулу площади треугольника.
Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула площади треугольника S равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними.
Таким образом, решая поставленную задачу:
Для нахождения длины третьей стороны треугольника можно использовать теорему косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos(C)
c² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos(60°)
c ≈ 9.28 см
Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу:
S = (1/2) * a * b * sin(C)
S = (1/2) * 6 * 8 * sin(60°)
S ≈ 13.86 см²

2. Поиск длины стороны BC треугольника ABC:
Для нахождения длины стороны BC можно использовать теорему синусов.
Согласно теореме синусов, отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно отношению любой другой стороны к синусу противолежащего ей угла.
Таким образом, решая данную задачу:
BC / sin(A) = AB / sin(C)
BC / sin(120°) = 3 / sin(45°)
BC ≈ 2.60 см

3. Определение типа треугольника:
Чтобы определить, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, нужно знать значения квадратов длин сторон треугольника.
Если квадрат самой длинной стороны меньше суммы квадратов двух остальных сторон, то треугольник остроугольный.
Если квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух остальных сторон, то треугольник прямоугольный.
Если квадрат самой длинной стороны больше суммы квадратов двух остальных сторон, то треугольник тупоугольный.
Таким образом, в данном задании:
7² < 10² + 13², значит треугольник остроугольный.

4. Периметр треугольника:
Для нахождения периметра треугольника с известными сторонами и углом между ними, можно использовать следующую формулу:
P = a + b + c
где a и b - известные стороны треугольника, а c - третья сторона, которую необходимо найти.
В данном задании одна сторона больше другой на 8 см, а угол между ними равен 120°, третья сторона равна 28 см, значит:
P = 20 + 28 + 36
P = 84 см

5. Радиус окружности:
Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг треугольника, нужно использовать следующую формулу:
R = (abc) / (4S)
где a, b и c - длины сторон треугольника, S - его площадь.
Предположим, что дана сторона AB, угол C и сторона BC. Другие стороны можно найти, используя теорему косинусов или теорему синусов.
Но в данной задаче необходимо знать данные о треугольнике, чтобы продолжить решение.

Дополнительное задание:
Найдите площадь треугольника ABC, если её высота, опущенная из вершины A, равна 10 см, а основание BC равно 12 см.