1. Какова длина линии пересечения плоскости xy с сферой радиусом r=5 и центром в точке a(2; 4; 3)? (считать π=3,14

Тема вопроса: Геометрия в трехмерном пространстве

Пояснение:
1. Для нахождения длины линии пересечения плоскости xy с сферой нужно рассмотреть уравнение этой плоскости. Плоскость xy задается уравнением z = 0. Подставляем это значение в уравнение сферы и решаем уравнение (x - 2)² + (y - 4)² + z² = 5², где r = 5 и a(2, 4, 3). Получим (x - 2)² + (y - 4)² + 3² = 5². Упрощаем и получаем x² + y² - 4x - 8y + 12 = 0. Данное уравнение задает окружность. Длина линии пересечения равна 2πr, где r = 5. Таким образом, длина линии пересечения плоскости xy с данной сферой равна 10π.

2. Для нахождения площади сечения, проведенного через конец радиуса шара под углом 60 градусов, можно воспользоваться формулой площади сектора круга. Площадь секции равна (60/360) * π * r², где r = 10. Вычисляем значение и получаем площадь сечения равную 100π/6.

3. Для нахождения координат центра сферы из уравнения х² + у² + z² + 2у – 4z = 4, нужно заметить, что все переменные коэффициенты при переменных равны 0, за исключением коэффициента 4. Если выразить каждую переменную через другие, то получим (х - 0)² + (у + 1)² + (z - 2)² = 9, что задает сферу с центром в точке (0, -1, 2) и радиусом равным 3. Произведение всех координат точки равняется 0 * (-1) * 2 = 0.

4. Для нахождения значения m, при котором точки a(0, m, 2) и b(1, 1, m - 2) принадлежат сфере, заданной уравнением х² + у² + z² + 2у – 4z = 4, подставляем координаты точек в уравнение сферы и решаем уравнение. Получим уравнение m² - 6m + 6 = 0. Решаем это уравнение с использованием квадратного корня и получаем два значения m = 3 + √3 и m = 3 - √3.

Демонстрация:
1. Длина линии пересечения плоскости xy с сферой радиусом r = 5 и центром в точке a(2; 4; 3) равна 10π.
2. Площадь сечения, проведенного через конец радиуса шара с радиусом r = 10 под углом 60o к нему равна 100π/6.
3. Координаты центра сферы, заданной уравнением х²+у²+z²+2у–4z=4, равны (0, -1, 2), а произведение координат точки равно 0.
4. Для точек a(0, m, 2) и b(1, 1, m-2), которые принадлежат сфере, заданной уравнением х²+у²+z²+2у–4z=4, значения m = 3 + √3 и m = 3 - √3.

Совет:
Для эффективного решения задач по геометрии в трехмерном пространстве рекомендуется разбирать теорию и основные понятия этой темы, а также изучить сферу, плоскости и уравнения, связанные с ними. Практикуйтесь в решении задач и рисуйте схемы для лучшего понимания пространственных взаимосвязей.

Задание для закрепления:
Найдите длину линии пересечения плоскости xz с сферой с радиусом r = 6 и центром в точке a(1, 2, -3). (считать π=3,14)

Тема: Геометрия
Пояснение:
1. Для определения длины линии пересечения плоскости и сферы, нужно найти точки пересечения этих двух фигур. Сначала нужно записать уравнение плоскости xy: z = 0. Подставив это уравнение в уравнение сферы, получим:
x^2 + y^2 + 2y - 4z = 4
x^2 + y^2 + 2y = 4
Подставим z = 0 и решим получившееся уравнение:
x^2 + y^2 + 2y = 4
x^2 + (y + 1)^2 = 5
Таким образом, линия пересечения плоскости xy и сферы - это окружность с центром в точке (-1, -1, 0) и радиусом sqrt(5).

2. Чтобы найти площадь сечения, проведенного через конец радиуса шара под углом 60 градусов, нужно использовать формулу площади сектора круга. Первым шагом найдем длину дуги окружности, составляющей сечение:
Длина дуги = (60/360) * 2 * π * r
Длина дуги = (1/6) * 2 * 3.14 * 10 = 10.47
Площадь сечения = (1/6) * π * r^2 = (1/6) * 3.14 * 10^2 = 52.36

3. Для нахождения координат центра сферы по уравнению, нужно привести его к стандартному виду. Запишем уравнение сферы:
x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4
Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть:
x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z - 4 = 0
Перепишем уравнение сферы в виде суммы квадратных трехгранников:
(x^2 + y^2 + z^2) + 2y - 4z - 4 = 0
Аналогично для каждой координаты:
(x^2) + (y^2 + 2y) + (z^2 - 4z) - 4 = 0
Теперь мы можем записать координаты центра сферы. Получаем: (0, -1, 2).

4. Для определения значения m, при котором точки a и b принадлежат заданной сфере, мы подставим координаты точек в уравнение сферы и решим его:
Для точки a: (0^2) + (m^2 + 2m) + (2^2 - 4*2) - 4 = 0
Для точки b: (1^2) + (1^2 + 2*1) + ((m-2)^2 - 4(m-2)) - 4 = 0
Решив эти уравнения, получаем m = 1 или m = -3.

Например:
1. Задана плоскость xy и сфера с радиусом 5. Найдите длину линии пересечения этих фигур.
2. У шара с радиусом 10 проведено сечение через конец радиуса под углом 60 градусов. Какова площадь сечения?
3. Найдите координаты центра сферы, заданной уравнением x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4.
4. Найдите значение m, при котором точки (0, m, 2) и (1, 1, m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4.

Совет:
- Для решения задач по геометрии, полезно знать основные формулы и уметь преобразовывать уравнения фигур в стандартный вид.
- Важно внимательно читать условие задачи и правильно подставлять значения переменных.

Дополнительное задание:
Найдите длину линии пересечения плоскости xz и сферы радиусом r=6 и центром в точке a(1, 3, -2). (считать π=3,14)