1. Какое значение имеет скалярное произведение векторов a(-4;3;0) и b(5;7;-1)? 2. Если скалярное произведение векторов

Тема вопроса: Скалярное произведение векторов

Описание: Скалярное произведение векторов является одной из операций, которая определяет угол между векторами и вычисляет число, называемое скаляром. Для двух векторов a и b с координатами (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃) соответственно, скалярное произведение вычисляется по формуле:
a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃

Доп. материал:
1. Для векторов a(-4;3;0) и b(5;7;-1), скалярное произведение вычисляется следующим образом:
a · b = (-4 * 5) + (3 * 7) + (0 * -1) = -20 + 21 + 0 = 1
Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно 1.

2. Если скалярное произведение векторов a и b равно 5, то угол между ними вычисляется с использованием формулы:
cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)
где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.
Зная, что скалярное произведение равно 5, мы можем найти угол θ:
cos(θ) = 5 / (|a| * |b|)

3. Для векторов a(2;-2;0) и b(3;0;-3), мы можем использовать ту же формулу:
cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)
a · b = (2 * 3) + (-2 * 0) + (0 * -3) = 6 + 0 + 0 = 6
|a| = sqrt(2² + (-2)² + 0²) = sqrt(4 + 4 + 0) = sqrt(8) = 2√2
|b| = sqrt(3² + 0² + (-3)²) = sqrt(9 + 0 + 9) = sqrt(18) = 3√2
cos(θ) = 6 / (2√2 * 3√2) = 6 / (6 * 2) = 6 / 12 = 1/2
Таким образом, угол между векторами a и b равен 60 градусов.

Совет: Чтобы лучше понять скалярное произведение векторов, полезно вспомнить определение косинуса угла между векторами. Также, векторы могут быть представлены в виде столбцов или строк матрицы.

Задание для закрепления: Вычислите скалярное произведение и угол между векторами:
а) вектор a(1;-2;3) и b(-4;0;1)
б) вектор a(5;-1;-2) и b(3;-4;2)