1. Какие координаты имеют точки и , если точка является серединой отрезка и точка является серединой отрезка

Ответ:
1. Для нахождения координат точек и , если точка является серединой отрезка и точка является серединой отрезка , следует воспользоваться формулой нахождения средней точки. Формула для нахождения координат средней точки между двумя точками и выглядит следующим образом:
и .
Применяя данную формулу, получаем:
и .
Следовательно, координаты точек и равны (;) и (;) соответственно.

2. Чтобы подтвердить, что четырехугольник является прямоугольником, необходимо проверить, являются ли противоположные стороны четырехугольника равными и перпендикулярными. Для этого можно использовать теорему Пифагора и теорему о взаимности перпендикулярности.
Выполнив необходимые вычисления, находим, что длины сторон четырехугольника равны: , , и .
Теперь проверим, являются ли противоположные стороны равными:
;
Это значит, что противоположные стороны четырехугольника являются равными.
Также, чтобы убедиться, что четырехугольник прямоугольник, проверим, перпендикулярность его сторон. Если произведение коэффициентов наклона противоположных сторон равно -1, то стороны перпендикулярны.
Произведем необходимые вычисления:
;
;
;
;
Получаем, что произведение коэффициентов наклона противоположных сторон равно -1, следовательно, стороны перпендикулярны.
Таким образом, у нас есть все признаки прямоугольника.

Чтобы найти площадь этого четырехугольника, можно воспользоваться формулой площади прямоугольника:
, где и - длины сторон прямоугольника.
В нашем случае, площадь это:
;
;
;
;
;
;
Получаем, что площадь четырехугольника равна 28.

Закрепляющее упражнение:
Найдите координаты точки, являющейся серединой отрезка с концами в точках (3;5) и (9;11).

Тема занятия: Координаты точек на плоскости и прямоугольники

Описание:

1. Для нахождения координат точек и , которые являются серединами отрезков и соответственно, нужно использовать свойство середины отрезка. Согласно этому свойству, для двух точек и на плоскости, координаты середины отрезка можно найти по формуле:
x_серединного_пункта = (x_точки_1 + x_точки_2) / 2
y_серединного_пункта = (y_точки_1 + y_точки_2) / 2

Применяя эту формулу к задаче, мы можем рассчитать координаты точек и .

2. Чтобы проверить, является ли четырехугольник прямоугольником, нужно использовать свойство прямоугольника. Для прямоугольника все углы равны 90 градусам. Если мы знаем координаты вершин четырехугольника, мы можем вычислить длины сторон, используя формулу расстояния между двумя точками:
d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

Если противоположные стороны четырехугольника равны и диагонали являются перпендикулярными (их произведение равно нулю), то четырехугольник является прямоугольником.

Площадь четырехугольника можно вычислить, используя формулу площади прямоугольника:
S = a * b, где a и b - длины двух сторон прямоугольника, которые взаимно перпендикулярны.

Демонстрация:
1. Дано: A(3, 2), B(7, 4). Найти координаты точек C и D, если C - середина отрезка AB, а D - середина отрезка BC.
Решение:
Для нахождения точки C:
x_c = (x_a + x_b) / 2 = (3 + 7) / 2 = 5
y_c = (y_a + y_b) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3

Для нахождения точки D:
x_d = (x_b + x_c) / 2 = (7 + 5) / 2 = 6
y_d = (y_b + y_c) / 2 = (4 + 3) / 2 = 3.5

Итак, координаты точек C и D равны (5, 3) и (6, 3.5) соответственно.

2. Даны вершины четырехугольника ABCD с координатами (13, 4), (15, 8), (7, 12) и (5, 8). Найдите площадь четырехугольника и проверьте, является ли он прямоугольником.
Решение:
Длина стороны AB = sqrt((15 - 13)^2 + (8 - 4)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20)
Длина стороны BC = sqrt((7 - 15)^2 + (12 - 8)^2) = sqrt(64 + 16) = sqrt(80)
Длина стороны CD = sqrt((5 - 7)^2 + (8 - 12)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20)
Длина стороны DA = sqrt((13 - 5)^2 + (4 - 8)^2) = sqrt(64 + 16) = sqrt(80)

Проверка:
AB * CD = sqrt(20) * sqrt(20) = 20
BC * DA = sqrt(80) * sqrt(80) = 80

Так как AB * CD ≠ BC * DA, то четырехугольник ABCD не является прямоугольником.

Чтобы вычислить площадь ABCD, нужно выбрать две перпендикулярные друг к другу стороны. В данном случае, возьмем стороны AB и BC.
Площадь ABCD = AB * BC = sqrt(20) * sqrt(80) = sqrt(20*80) = sqrt(1600) = 40.

Совет:
Для более легкого понимания и решения задач на координаты точек и прямоугольники, рекомендуется ознакомиться с принципами и свойствами координатной плоскости и прямоугольников. Для измерения расстояния между двумя точками на плоскости можно использовать формулу расстояния между двумя точками или применить понятие "пошаговое решение", разбивая задачу на несколько более простых шагов.

Дополнительное упражнение:
Найти координаты середины отрезка с конечными точками A(5, 8) и B(9, -2).