1) Докажите, что если в треугольнике ABC имеются две точки D и E, которые не лежат в его плоскости, и выполняется

Задача 1: Доказательство параллельности пирамиды DE плоскости ABC

Инструкция: Для доказательства параллельности пирамиды DE (в которой точки D и E лежат вне плоскости треугольника ABC) плоскости ABC, мы можем использовать векторный анализ.

Вектор DE задан как DE = хАВ + уАС, где х и у - произвольные числа.

Для начала, представим векторы AB и AC в виде суммы векторов из точки A до точек B и C соответственно. То есть, AB = OB - OA и AC = OC - OA, где O - произвольная точка.

Затем заметим, что вектор DE также можно представить в виде суммы векторов из точки D до точек B и C. То есть, DE = EB + EC = (OD + DB) + (OD + DC) = 2OD + DB + DC.

Теперь обратим внимание на вектор OD. Если пирамида DE параллельна плоскости ABC, это означает, что вектор OD перпендикулярен векторам AB и AC. То есть, вектор OD должен быть перпендикулярен плоскости ABC.

Теперь рассмотрим выражение для вектора DE = 2OD + DB + DC. Если вектор OD перпендикулярен векторам AB и AC, это означает, что проекции векторов DB и DC на плоскость ABC равны нулю.

Таким образом, DE параллельно плоскости ABC, так как его проекции на плоскость равны нулю.

Доп. материал: Докажите, что если в треугольнике ABC имеются две точки D и E, которые не лежат в его плоскости, и выполняется равенство DE = 3AB + 2AC, то пирамида DE параллельна плоскости ABC.

Совет: При решении подобных задач важно использовать понимание векторных свойств и операций, а также иметь ясное представление о понятии параллельности плоскости и векторных проекциях.

Ещё задача: В параллелограмме ABCD с пересекающимися в точке О диагоналями, где точка М находится на стороне ВС и ВМ=МС, АВ=р и АО=q, выразите вектор АМ с помощью векторов AB и AO.