Свойства параллелограмма и ромба
1. Докажите, что четырехугольник MNPK является параллелограммом, если у него есть два равных равнобедренных
1. Докажите, что четырехугольник MNPK является параллелограммом, если у него есть два равных равнобедренных треугольника MNK и KNP с общей боковой стороной MK и NP соответственно.
2. Найдите периметр треугольника AOD, если сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. Точка O является точкой пересечения диагоналей.
3. Докажите, что диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O.
4. В трапеции ABCD с большим основанием AD, докажите, что диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD.
5. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A и серединой BC в точке K, проведите прямые через точку K.
2. Найдите периметр треугольника AOD, если сторона AD параллелограмма ABCD равна 9 см, а его диагонали равны 14 см и 10 см. Точка O является точкой пересечения диагоналей.
3. Докажите, что диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O.
4. В трапеции ABCD с большим основанием AD, докажите, что диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD.
5. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A и серединой BC в точке K, проведите прямые через точку K.
18.11.2023 22:11
Написать свой ответ:
Пояснение:
1. Чтобы доказать, что четырехугольник MNPK - параллелограмм, нам нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. У нас есть два равнобедренных треугольника MNK и KNP с общей боковой стороной MK и NP соответственно. Так как треугольники равнобедренные, то у них углы при основаниях равны, следовательно, углы MKN и KNП равны. Поскольку углы MKN и KNP равны, то параллельными становятся основания этих треугольников - стороны MK и NP. Следовательно, стороны МК и NР параллельны и равны по длине.
2. Чтобы найти периметр треугольника AOD, нужно сложить длины его сторон. Зная, что сторона AD параллельна стороне BC, и их диагонали равны 14 см и 10 см соответственно, мы можем использовать свойство параллелограмма: сумма длин диагоналей параллелограмма равна удвоенной длине его стороны. Таким образом, длина стороны AD равна 14 см.
3. Чтобы доказать, что диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O, нужно использовать свойство ромба: диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Мы также можем использовать свойство параллелограмма, так как ромб - это частный случай параллелограмма. Таким образом, мы можем утверждать, что диагонали ромба пересекаются в точке O.
4. Чтобы доказать, что диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD в трапеции ABCD, мы можем использовать свойства параллелограмма и раннее доказанное свойство параллельных прямых: если две прямые пересекаются, образуя смежные углы, то эти углы суммируются до 180 градусов. В трапеции BCDA боковая сторона BC параллельна основаниям АD и BC, поэтому угол В равен 180 градусам. Поскольку угол В равен 180 градусам, а угол А равен 90 градусам (угол треугольника АBC), то в сумме получается 270 градусов. Угол ВСD, как смежный угол, должен составлять 180 - 270 = 90 градусов. Таким образом, диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD.
Совет: Для лучшего понимания материала рекомендуется внимательно изучить свойства параллелограмма и ромба, а также принципы доказательства и использования параллельности и перпендикулярности прямых.
Задача для проверки: Нарисуйте четырехугольник ABCD, в котором сторона AB равна 8 см, сторона AD равна 6 см, угол В равен 110 градусам и угол D равен 70 градусам. Докажите, что противоположные стороны AB и CD параллельны.
Пояснение: Чтобы доказать, что четырехугольник MNPK является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.
Мы знаем, что треугольник MNK - равнобедренный треугольник с боковой стороной MK. То есть сторона MN равна стороне MK, а углы M и N также равны.
Аналогично, треугольник KNP - равнобедренный треугольник с боковой стороной NP, где сторона KP равна стороне NP, а углы K и P равны.
Таким образом, у нас есть равные противоположные стороны NP и MK, а также равные противоположные углы M и N, K и P.
Из определения параллелограмма следует, что противоположные стороны параллельны. Таким образом, четырехугольник MNPK является параллелограммом.
Пример: Докажите, что четырехугольник MNPK является параллелограммом, если MN = MK и NP = KP.
Совет: Чтобы лучше понять свойства параллелограмма, рассмотрите его основные характеристики и изучите примеры. Рисование параллелограммов по шаблону также может помочь запомнить их структуру и свойства.
Упражнение: Задача: В четырехугольнике QRST противоположные стороны RS и QT параллельны. Докажите, что RS = QT.