Який радіус планети, маса якої в два рази менша, ніж маса Землі, при умові, що прискорення вільного падіння

Тема: Радіус планети

Пояснення: Щоб знайти радіус планети, ми можемо скористатися законом всесвітнього тяжіння, який зв"язує масу планети, радіус планети і прискорення вільного падіння на її поверхні. Закон всесвітнього тяжіння виражений наступною формулою:

\[ F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

де F - сила тяжіння, G - гравітаційна постійна, \(m_1\) і \(m_2\) - маси тіл, \(r\) - відстань між ними.

У нашому випадку \(m_1\) - маса планети, \(m_2\) - маса Землі, \(r\) - радіус планети.

Також, відомо, що прискорення вільного падіння на поверхні планети таке ж саме, як на Землі, тобто \(g_1 = g_2\).

Проаналізуємо формулу тяжіння для Землі:

\[ F_1 = G \cdot \frac{{m_2 \cdot m_{\text{Землі}}}}{{r_{\text{Землі}}^2}} \]

\[ g_1 \cdot m_1 = G \cdot \frac{{m_2 \cdot m_{\text{Землі}}}}{{r_{\text{Землі}}^2}} \]

Тепер розглянемо формулу для планети:

\[ g_2 \cdot m_1 = G \cdot \frac{{m_2 \cdot m_{\text{Землі}}}}{{r_{\text{планети}}^2}} \]

Маючи обидві формули, ми можемо скласти рівняння:

\[ g_1 \cdot m_1 = g_2 \cdot m_1 = G \cdot \frac{{m_2 \cdot m_{\text{Землі}}}}{{r_{\text{планети}}^2}} \]

\[ g_1 = g_2 = G \cdot \frac{{m_2 \cdot m_{\text{Землі}}}}{{r_{\text{планети}}^2}} \]

Далі, знаючи, що \(g_1 = g_2\), ми можемо спростити рівняння:

\[ G \cdot \frac{{m_2 \cdot m_{\text{Землі}}}}{{r_{\text{планети}}^2}} = G \cdot \frac{{m_2 \cdot m_{\text{Землі}}}}{{r_{\text{Землі}}^2}} \]

\[ \frac{{r_{\text{планети}}^2}}{{r_{\text{Землі}}^2}} = 1 \]

\[ r_{\text{планети}} = r_{\text{Землі}} \]

Отже, радіус планети буде такий самий, як радіус Землі.

Приклад використання:
Умова: Маса планети в два рази менша, ніж маса Землі, а прискорення вільного падіння на її поверхні таке саме, як на Землі.
Запитання: Який радіус планети?

Рада:
Для кращого розуміння і виконання завдання рекомендую скласти рівняння, використовуючи закон всесвітнього тяжіння та умову про прискорення вільного падіння. Не забудьте вдумливо перевірити кожен крок та спростити рівняння до простої форми.

Вправа:
Маса Землі приблизно \(5.97 \times 10^{24}\) кг. Яка повинна бути маса планети, щоб радіуси планети і Землі були однаковими, а прискорення вільного падіння на поверхні планети дорівнювало \(10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}\)?