Определите момент инерции системы с шариками, состоящей из тонкого однородного стержня длиной 90 см и массой

Тема: Момент инерции системы с шариками.

Описание: Момент инерции (или момент массы) системы с шариками определяет ее сопротивление изменению угловой скорости при вращении относительно оси. В данной задаче нам необходимо найти момент инерции системы с шариками, состоящей из тонкого однородного стержня и двух прикрепленных шариков.

Для решения данной задачи используем формулу для момента инерции стержня и шарика относительно оси, перпендикулярной им. Формула для момента инерции стержня имеет вид:

\[I_{\text{стержня}} = \frac{1}{3} m l^2,\]

где \(m\) - масса стержня, \(l\) - его длина. Формула для момента инерции шарика имеет вид:

\[I_{\text{шарика}} = \frac{2}{5} m r^2,\]

где \(m\) - масса шарика, \(r\) - его радиус.

а) Чтобы найти момент инерции системы относительно первого шарика, найдем моменты инерции стержня и шариков относительно данной оси и сложим их:

\[I_{\text{системы}} = I_{\text{стержня}} + I_{\text{шарика1}} + I_{\text{шарика2}},\]

где \(I_{\text{шарика1}}\) и \(I_{\text{шарика2}}\) - моменты инерции шариков относительно оси, проходящей через первый шарик.

б) Чтобы найти момент инерции системы относительно точки, находящейся на расстоянии 30 см от первого шарика, мы можем воспользоваться теоремой Параллельных осях. Эта теорема гласит, что момент инерции системы относительно оси, параллельной и отсчитываемой на расстоянии \(d\) от исходной оси, равен сумме момента инерции системы относительно исходной оси и произведения массы системы на квадрат расстояния \(d\):

\[I_{\text{новой оси}} = I_{\text{старой оси}} + m_{\text{системы}} \cdot d^2.\]

в) Чтобы найти момент инерции системы относительно середины стержня, мы можем воспользоваться теоремой Перпендикулярных осей. Гласит, что момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной и проходящей через середину стержня, равен сумме момента инерции системы относительно оси, проходящей через конец стержня, и половины произведения массы системы на квадрат ее длины:

\[I_{\text{перп. оси}} = I_{\text{конца стержня}} + \frac{1}{2} m_{\text{системы}} \cdot l^2.\]

Пример использования: Решим данную задачу.

a) Для первого шарика:

\[I_{\text{стержня}} = \frac{1}{3} \cdot 0.3 \cdot (0.9)^2 = 0.09 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2,\]

\[I_{\text{шарика1}} = \frac{2}{5} \cdot 0.1 \cdot (0.05)^2 = 0.0002 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2.\]

b) Для точки, находящейся на расстоянии 30 см от первого шарика:

\[I_{\text{системы}} = I_{\text{старой оси}} + m_{\text{системы}} \cdot d^2,\]

\[I_{\text{новой оси}} = 0.09 + (0.1 + 0.2) \cdot (0.3)^2 = 0.168 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2.\]

в) Для середины стержня:

\[I_{\text{перп. оси}} = I_{\text{конца стержня}} + \frac{1}{2} m_{\text{системы}} \cdot l^2,\]

\[I_{\text{перп. оси}} = 0.09 + \frac{1}{2} \cdot (0.1 + 0.2) \cdot (0.9)^2 = 0.297 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2.\]

Совет: Для лучшего понимания момента инерции рекомендуется изучить основные формулы и законы, связанные с вращательным движением, а также прорешать несколько задач на эту тему.

Упражнение: Определите момент инерции системы, состоящей из двух одинаковых шаров массой 150 г и расположенных на расстоянии 40 см друг от друга, относительно точки между ними, находящуюся на расстоянии 10 см от каждого шара. Рассмотрите только движение системы в плоскости, проходящей через оба шара. (Ответ: 0.12 кг*м^2)