Определите логарифмический декремент затухания для массы m = 200 г, которая совершает собственные затухающие колебания

Тема урока: Логарифмический декремент затухания

Описание: Логарифмический декремент затухания - это параметр, используемый для измерения уровня затухания колебаний. Он определяется как натуральный логарифм отношения амплитуды текущего колебания к амплитуде предыдущего колебания на одном периоде колебаний.

Для определения логарифмического декремента затухания в данной задаче необходимо знать значения массы m, жесткости пружины k и параметра затухания a.

Используя формулу для амплитуды колебаний х(t):

х(t) = A * e^(-at) * cos(ωt + φ)

где А - амплитуда колебаний, а ω - циклическая частота (2πf), где f - частота колебаний, φ - смещение фазы.

Зная, что х(t) = 3e^(-at) * cos(20t + π/4), можно найти амплитуду колебаний А = 3.

Для определения параметра затухания a, можно воспользоваться формулой:

a = β / (2m)

где β - коэффициент затухания, который можно найти из соотношения:

β = 2 * sqrt(km)

где k - жесткость пружины.

Таким образом, для нашей задачи:

k = 100 н/м,
m = 200 г = 0.2 кг.

Находим β:
β = 2 * sqrt(100 * 0.2) = 8

И, наконец, находим параметр затухания a:
a = 8 / (2 * 0.2) = 20 н/с.

Логарифмический декремент затухания (δ) связан с параметром затухания a следующим образом:
δ = a * T

где T - период колебаний.

Таким образом, для определения логарифмического декремента затухания, необходимо знать период колебаний.

Пример:
Задача: Найдите логарифмический декремент затухания для массы m = 200 г, которая совершает собственные затухающие колебания на пружинке с жесткостью k = 100 н/м по закону х = 3e^(-at)cos(20t + pi/4).

Совет: Для более полного понимания концепции логарифмического декремента затухания, рекомендуется ознакомиться с основами колебаний и демпфированных колебаний.

Задание для закрепления:
При заданных значениях массы m = 0.3 кг, жесткости пружины k = 50 н/м и периоде колебаний T = 5 с, найдите логарифмический декремент затухания.

Логарифмический декремент затухания является важным понятием в физике и используется для описания затухающих колебаний. Он определяется как натуральный логарифм от отношения любых двух последовательных амплитуд колебаний в некотором моменте времени.

Для данной задачи, чтобы определить логарифмический декремент затухания, мы должны узнать амплитуду колебаний в начальный и последующие моменты времени. В данном случае масса m = 200 г и жесткость пружинки k = 100 Н/м. Колебания описываются уравнением х = 3e^(-at)cos(20t + pi/4), где x - перемещение, t - время.

Для простоты решения, предположим, что в начальный момент времени t = 0, масса находится в положении равновесия и не имеет начального отклонения. Следовательно, x(0) = 0.

Для определения амплитуды колебаний, найдем x(τ), где τ - время, прошедшее после t = 0. Подставив это значение в исходное уравнение, получаем x(τ) = 3e^(-aτ)cos(20τ + pi/4).

Теперь, чтобы найти амплитуду x(2τ) колебаний через время 2τ, мы заменяем t на 2τ: x(2τ) = 3e^(-a(2τ))cos(20(2τ) + pi/4).

Используя данные о начальном и последующих значениях амплитуд, мы можем определить логарифмический декремент затухания по следующей формуле:

δ = ln(x(0)/x(2τ)) / 2

Зная m, k и используя значения x(0) и x(2τ) для данной задачи, мы можем вычислить логарифмический декремент затухания для массы m = 200 г и пружинки с жесткостью k = 100 Н/м.

Доп. материал:
Дано: m = 200 г, k = 100 Н/м, x(0) = 0, x(2τ) = 3e^(-a(2τ))cos(20(2τ) + pi/4) (найдите x(2τ) для заданных значений).

Совет:
Чтобы лучше понять концепцию логарифмического декремента затухания, полезно ознакомиться с теорией и примерами этого явления. Изучите, как величина затухания связана с потерями энергии в системе, а также с изменением амплитуды колебаний.

Задание:
Для массы m = 150 г, жесткости пружинки k = 80 Н/м и времени t = 1 секунда, найдите логарифмический декремент затухания, если значения амплитуды колебаний равны x(0) = 5 см и x(2τ) = 2 см.