Какую скорость необходимо придать искусственному спутнику, чтобы он перешел на орбиту с радиусом, дважды превышающим

Суть вопроса: Орбиты и скорость искусственных спутников

Разъяснение: Для того чтобы искусственный спутник перешел на орбиту с радиусом, дважды превышающим исходный радиус, необходимо учесть закон сохранения механической энергии. Механическая энергия спутника на первоначальной орбите состоит из его потенциальной и кинетической энергий.

На первоначальной орбите кинетическая энергия спутника определяется его массой и скоростью на этой орбите, и равна KE1 = (1/2)mv^2, где m - масса спутника, v - скорость спутника.

Также можно записать потенциальную энергию спутника на первоначальной орбите: PE1 = -G(Mm)/r, где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, к которой принадлежит спутник, r - радиус первоначальной орбиты.

На конечной орбите потенциальная энергия спутника будет составлять PE2 = -G(Mm)/(2r).

Согласно закону сохранения энергии, сумма кинетической и потенциальной энергий спутника на каждой орбите должна быть постоянной. То есть KE1 + PE1 = KE2 + PE2.

Подставляя значения и решая уравнение, можно найти скорость спутника на конечной орбите KE2 = (1/2)m(v")^2, где v" - искомая скорость спутника.

Пример:
Задача: Имеется искусственный спутник массой 1000 кг на орбите с радиусом 10000 км. Какую скорость необходимо придать спутнику, чтобы он перешел на орбиту с радиусом 20000 км?

Решение:
KE1 + PE1 = KE2 + PE2
(1/2)mv^2 + (-G(Mm)/r) = (1/2)m(v")^2 + (-G(Mm)/(2r))

Подставляем значения: m = 1000 кг, r = 10000 км, r" = 20000 км
(1/2) * 1000 * v^2 - G(Ми * 1000) / 10000 = (1/2) * 1000 * (v")^2 - G(Ми * 1000) / 20000

Сокращаем и упрощаем:
(1/2)v^2 - GM / r = (1/2)(v")^2 - GM / (2r)

Перегруппируем исходное уравнение:
(1/2)v^2 - (1/2)(v")^2 = GM / r - GM / (2r)

Раскрываем скобки и упрощаем:
(1/2)(v^2 - (v")^2) = GM / r - GM / (2r)
(1/2)(v^2 - (v")^2) = GM(2 - 1) / (2r)

(1/2)(v^2 - (v")^2) = GM / (2r)

v^2 - (v")^2 = GM / r

(v + v")(v - v") = GM / r

v - v" = GM / (r(v + v"))

(v - v")(v + v") = GM / r

Сокращая v - v", получаем:
v + v" = GM / r(v + v")
2v" = GM / r
v" = GM / (2r)

Подставляя значения: G = 6,67430 * 10^(-11) м^3/(кг * c^2), M = 5,97219 * 10^24 кг, r = 10000 км, получаем:
v" = (6,67430 * 10^(-11) * 5,97219 * 10^24) / (2 * 10000 * 10^3) м/с

Совет: Если вам даны задачи связанные с орбитами искусственных спутников, полезно вспомнить законы сохранения энергии и движение тел по орбите.

Дополнительное задание: Искусственный спутник находится на орбите с радиусом 5000 км. Найдите скорость спутника, если он перешел на орбиту с радиусом 10000 км.

Название: Переход искусственного спутника на орбиту с удвоенным радиусом

Пояснение: Чтобы искусственный спутник перешел на орбиту с радиусом, дважды превышающим исходный, необходимо применить закон сохранения механической энергии. При переходе на новую орбиту, кинетическая энергия спутника остается неизменной, а потенциальная энергия изменяется. Потенциальная энергия пропорциональна гравитационному потенциалу на данной высоте исходной и новой орбиты.

Для определения необходимой скорости на новой орбите применим формулу:

\[v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\]

где v - скорость спутника, G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, r - радиус новой орбиты.

В нашем случае, радиус новой орбиты равен удвоенному исходному радиусу. Подставляя это значение в формулу, получаем:

\[v = \sqrt{\frac{2GM}{2r_0}} = \sqrt{\frac{GM}{r_0}}\]

где \(r_0\) - исходный радиус орбиты.

Например:
Пусть исходный радиус орбиты равен 10 000 км. Чтобы определить необходимую скорость на новой орбите, воспользуемся формулой:

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r_0}}\]

Подставляя числовые значения:

\[v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{10^7}} \approx 7.91 \text{ км/с}\]

Совет: Чтобы лучше понять данную тему, рекомендуется ознакомиться с понятием закона сохранения механической энергии и использовать формулы в задачах, чтобы закрепить материал.

Задача для проверки:
Пусть исходный радиус орбиты равен 15 000 км. Какую скорость необходимо придать искусственному спутнику, чтобы он перешел на орбиту с радиусом, дважды превышающим исходный? Ответ округлите до двух десятичных знаков.