Какую массу имеет грузик, который выполняет гармонические колебания, если он закреплен на пружине с жесткостью 80 Н/м?

Физика: Грузик на пружине с гармоническими колебаниями

Описание:
Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон Гука для пружинных колебаний. Закон Гука гласит, что сила, действующая на пружину, пропорциональна ее удлинению (или сжатию) и жесткости пружины. Формула для этого закона выглядит следующим образом:

F = -k * x

где F - сила, k - жесткость пружины, x - удлинение (или сжатие) пружины.

Так как грузик выполняет гармонические колебания, его движение можно описать с помощью синусоидальной функции:

x = A * sin(ωt + φ)

где x - координата грузика, A - амплитуда колебаний, ω - угловая частота, t - время, φ - начальная фаза.

Мы знаем, что при t = 0.025п координата x равна -1, при t = 0.05п - 1, и при t = 0.075п -1. С помощью этих данных мы можем найти значения A и ω.

Решение:
Из задачи известны следующие значения координаты грузика:
x = -1 при t = 0.025п,
x = -1 при t = 0.075п,
x = 1 при t = 0.05п.

Подставим известные значения в уравнение для колебаний:

-1 = A * sin(ω * 0.025п + φ) (1)
1 = A * sin(ω * 0.05п + φ) (2)
-1 = A * sin(ω * 0.075п + φ) (3)

Теперь найдем разность между уравнениями (2) и (1):

1 - (-1) = 2 = A * [sin(ω * 0.05п + φ) - sin(ω * 0.025п + φ)]

С помощью тригонометрической формулы для разности синусов, это можно переписать следующим образом:

2 = 2A * cos(0.0375п * ω + φ) * sin(0.025п * ω)

Помечаем как (4).

Теперь найдем разность между уравнениями (3) и (1):

-1 - (-1) = 0 = A * [sin(ω * 0.075п + φ) - sin(ω * 0.025п + φ)]

Снова используем тригонометрическую формулу для разности синусов:

0 = 2A * cos(0.05п * ω + φ) * sin(0.025п * ω)

Помечаем как (5).

Теперь разделим уравнение (4) на уравнение (5):

2/0 = cos(0.0375п * ω + φ) / cos(0.05п * ω + φ)

Разделив обе части на cos(0.0375п * ω + φ), получаем:

∞ = 1 / cos(0.05п * ω + φ)

Так как обратное значение cos должно быть бесконечным, значит, cos(0.05п * ω + φ) должен быть равным нулю:

cos(0.05п * ω + φ) = 0

Из этого уравнения можно найти значения для ω и φ.

Если cos(θ) = 0, то θ = π/2, 3π/2, 5π/2, и так далее.

Таким образом,

0.05п * ω + φ = π/2, 3π/2, 5π/2, ...

Перепишем уравнение для ω:

0.05п * ω = π/2 - φ, 3π/2 - φ, 5π/2 - φ, ...

Решим это уравнение для каждой из данных величин x и найдем ω:

-1 при t = 0.025п:
0.05п * ω = π/2 - φ

1 при t = 0.05п:
0.05п * ω = 3π/2 - φ

-1 при t = 0.075п:
0.05п * ω = 5π/2 - φ

Теперь у нас есть система уравнений, и мы можем решить ее, найдя значения для A, ω и φ:

A = √(1² + (-1)²) = √2

0.05п * ω = π/2 - φ (6)
0.05п * ω = 3π/2 - φ (7)
0.05п * ω = 5π/2 - φ (8)

Вычитая уравнение (6) из уравнения (7), получаем:
0 = π - 2φ
φ = π/2

Подставляя значение φ в уравнение (6) или (7), получаем:

0.05п * ω = π/2 - π/2
0.05п * ω = 0
ω = 0

Теперь у нас есть значения для A, ω и φ:
A = √2
ω = 0
φ = π/2

Теперь мы можем найти массу грузика, используя закон Гука и формулу для жесткости пружины:

F = -k * x
-80 = -k * A
-80 = -k * √2
k = 80 / √2

Так как F = ma, где m - масса и a - ускорение, мы можем написать:

ma = -kx
m * (-1) * 9.8 = (-80 / √2) * (-1)
m = (80 * 9.8) / √2

Таким образом, масса грузика составляет (80 * 9.8) / √2 кг.

Совет: При решении данной задачи важно тщательно следить за знаками и числовыми значениями. Применение тригонометрических тождеств и формул для разности синусов может быть полезным при упрощении уравнений. Рекомендуется также самостоятельно провести проверку результата, подставив найденные значения обратно в исходные уравнения.

Проверочное упражнение:
Следующий график показывает зависимость координаты x грузика от времени t при гармонических колебаниях. Зная, что при t = 0 координата x равна 2, а при t = 0.5с координата x равна -4, найдите амплитуду колебаний грузика.

Суть вопроса: Грузик на пружине в гармонических колебаниях

Инструкция:
В данной задаче у нас есть график, который показывает зависимость координаты грузика (x) от времени (t). Грузик находится на пружине с жесткостью 80 Н/м.

Для решения задачи, нам необходимо использовать закон Гука, который описывает гармонические колебания системы с пружиной:
F = -kx

где F - сила, k - жесткость пружины, x - смещение грузика относительно положения равновесия.

Мы знаем значения координаты x при разных значениях времени t:
x = -1 при t = 0.025п
x = 1 при t = 0.05п
x = -1 при t = 0.075п

На основе этой информации, мы можем решить задачу, найдя силу действующую на грузик в каждой из ситуаций:

F1 = -k * x1
F2 = -k * x2
F3 = -k * x3

Сила, действующая на грузик, является векторной величиной и у неё есть направление. В нашем случае, силы имеют одинаковые значения, но противоположное направление.

Зная силы действующие на грузик, мы можем использовать второй закон Ньютона, чтобы найти его массу. Второй закон Ньютона гласит:
F = ma

где F - сила, m - масса грузика, a - ускорение.

Так как у нас гармонические колебания, ускорение можно найти по формуле:
a = -ω^2 * x

где ω - угловая частота колебаний, которая связана с жесткостью пружины следующим образом:
ω = sqrt(k / m)

Подставляя значения силы и второго закона Ньютона, мы получим:
-mω^2 * x = -k * x

Массу (m) можно найти из этого уравнения:
m = k / ω^2

Таким образом, мы можем использовать данную формулу для расчета массы грузика.

Доп. материал:
Итак, у нас есть пружина с жесткостью 80 Н/м. Сначала найдем угловую частоту (ω) колебаний с использованием данной жесткости:
ω = sqrt(80 / m)

Затем, используя значения координаты x и соответствующего времени t, мы можем выразить массу грузика (m):
m = k / ω^2

m = 80 / (sqrt(80 / m))^2

Подставив значения:
m = 80 / (sqrt(80 / 0.025п))^2
m = 80 / (sqrt(3200п))^2

Мы можем продолжить вычисления, чтобы найти точное значение массы грузика.

Совет:
Для лучшего понимания данной задачи, рекомендуется изучить закон Гука, второй закон Ньютона, а также гармонические колебания на примерах и задачах. Понимание этих концепций поможет вам правильно решить данное упражнение.

Закрепляющее упражнение:
Пружина имеет жесткость 60 Н/м. Грузик, закрепленный на пружине гармонически колеблется с угловой скоростью 2 рад/с. Какую массу имеет грузик, если координата х грузика равна 0.1 м при t = 0?