Каково отношение длины одной нити к длине другой нити, если два шарика, подвешенные на нитях, отклоняются на одинаковые

Тема: Отношение длины нитей и угол отклонения

Инструкция:
Отношение длины нитей к углу отклонения связано с законом гармонических колебаний. В данной задаче используется условие, что сжатие пружины много меньше длин нитей. Позиции шариков после растяжения пружины соответствуют равновесным положениям системы.

Предположим, что длина первой нити равна L1, а длина второй нити равна L2. Когда нити поддерживают шарики на одинаковых углах отклонения, запишем уравнение для каждой нити:

m1 * g = T1 * sin(θ)
m2 * g = T2 * sin(θ)

Где m1 и m2 - массы шариков, g - ускорение свободного падения, T1 и T2 - натяжения соответствующих нитей.

Также, согласно закону Гука, натяжение в нити связано с удлинением пружины:

T1 = k * ΔL1
T2 = k * ΔL2

Где k - жёсткость пружины, ΔL1 и ΔL2 - удлинения первой и второй нитей соответственно.

Далее, учитывая, что ΔL1 ≈ ΔL2 и T1 = T2, можно записать:

k * ΔL1 = m1 * g * sin(θ)
k * ΔL2 = m2 * g * sin(θ)

Поскольку k и g не зависят от их значений, а только масса и синус угла одинаковы для обоих шариков, получаем:

m1 / ΔL1 = m2 / ΔL2

*Формула для отношения длины нитей:*

L1 / L2 = √(m2 / m1)

Например:
Допустим, первая нить имеет длину 50 см и вторая нить имеет длину 75 см. Если масса первого шарика составляет 2 кг, то какова масса второго шарика?

Решение:
Используя формулу отношения длины нитей, имеем:
L1 / L2 = √(m2 / m1)

Подставляем известные значения:
50 / 75 = √(m2 / 2)

Решаем уравнение:
(2/3)^2 = m2 / 2

4/9 = m2 / 2

Умножаем обе части на 2:
m2 = (4/9) * 2

m2 = 8/9 кг

Ответ: Масса второго шарика составляет 8/9 кг.

Совет:
Для лучшего понимания задачи можно использовать условие, что сжатие пружины много меньше длин нитей, чтобы показать, что шарики находятся в равновесии при одинаковых углах отклонения.

Задача на проверку:
У нити с длиной 1 метр угол отклонения составляет 45 градусов. Какова длина второй нити, если два шарика подвешены под одинаковыми условиями и их массы составляют 3 кг и 5 кг соответственно? Ответ округлите до десятых долей.