Какова величина убывания амплитуды затухающих колебаний после 10 колебаний? Чему равен логарифмический декремент

Содержание вопроса: Затухающие колебания

Инструкция:
Убывание амплитуды затухающих колебаний определяется экспоненциальной зависимостью. Для расчета величины убывания амплитуды после 10 колебаний, необходимо знать амплитуду на первом колебании и коэффициент затухания. Формула для расчета амплитуды на k-ом колебании:

A_k = A_0 * (e^(-к*2π/T))

где A_k - амплитуда на k-ом колебании, A_0 - начальная амплитуда, к - коэффициент затухания, T - период колебаний.

Для расчета логарифмического декремента (δ) используется формула:

δ = ln(A_k/A_{k+1})

найденной путем отношения амплитуд на двух последовательных колебаниях.

Коэффициент затухания (к) связан с логарифмическим декрементом следующим образом:

к = 2π/Т * δ

Уравнение колебаний можно записать как:

x(t) = A_0 * e^(-к*t) * cos(ω*t + φ)

где x(t) - положение точки в заданный момент времени t, A_0 - начальная амплитуда, к - коэффициент затухания, ω - угловая скорость, φ - начальная фаза.

Демонстрация:
Пусть начальная амплитуда (A_0) равна 5, коэффициент затухания (к) равен 0.2, период колебаний (T) равен 0.4 секунды. Чтобы найти величину убывания амплитуды после 10 колебаний, мы можем использовать формулу:

A_k = A_0 * (e^(-к*2π/T))

где k = 10. Подставляя значения, получим:

A_k = 5 * (e^(-0.2*2π/0.4)) ≈ 2.790

Логарифмический декремент и коэффициент затухания при периоде колебаний T = 0.4 секунды можно рассчитать аналогичным образом, используя соответствующие формулы.

Совет:
Для лучшего понимания концепции затухающих колебаний, рекомендуется изучить основные понятия колебаний, экспоненциальных функций и угловых скоростей. Понимание связи между амплитудой, периодом колебаний и коэффициентом затухания также важно для решения задач по этой теме.

Дополнительное упражнение:
Начальная амплитуда затухающих колебаний составляет 10, коэффициент затухания равен 0.1, а период колебаний составляет 0.5 секунды. Найдите величину убывания амплитуды после 5 колебаний.