Какова средняя плотность планеты, если камень падает с обрыва высотой h на планете радиуса r за время

Тема урока: Средняя плотность планеты

Пояснение:
Средняя плотность планеты может быть определена используя формулу силы тяжести на поверхности планеты и формулу объема сферы.

Сила тяжести на поверхности планеты определяется как масса планеты, умноженная на ускорение свободного падения:
\[ F = m \cdot g \]

Ускорение свободного падения определяется как \( g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}} \), где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты, \( R \) - радиус планеты.

Массу планеты можно выразить через объем и плотность планеты:
\[ m = \frac{{V \cdot \rho}}{{3}} \]

Объем сферы радиусом \( r \) выражается через \( V = \frac{{4 \cdot \pi \cdot r^3}}{3} \).

Подставляя значения в формулу силы тяжести и объема сферы, получаем:
\[ F = \frac{{4 \cdot \pi \cdot G \cdot \rho \cdot r^2 \cdot r}}{3} \]

Далее, выразим массу планеты из формулы силы тяжести и объема сферы:
\[ m = \frac{{4 \cdot \pi \cdot G \cdot \rho \cdot r^3}}{3} \]

Используя определение плотности \( \rho = \frac{{m}}{{V}} \), получим:
\[ \rho = \frac{{\frac{{4 \cdot \pi \cdot G \cdot \rho \cdot r^3}}{3}}}{{\frac{{4 \cdot \pi \cdot r^3}}{3}}} = G \cdot \rho \]

Решая это уравнение относительно плотности планеты, получаем:
\[ \rho = \frac{1}{{G}} \]

Например:
Предположим, гравитационная постоянная \( G = 6.67430 \times 10^{-11} \) и мы рассматриваем планету радиусом \( r = 6371 \) километр. Тогда средняя плотность планеты будет:
\[ \rho = \frac{1}{{6.67430 \times 10^{-11}}} \]

Совет:
Для лучшего понимания концепции средней плотности планеты, полезно понимать, что это отношение массы планеты к ее объему. Физический смысл этого соотношения заключается в том, насколько компактно распределена масса внутри планеты.

Дополнительное упражнение:
Какова средняя плотность Земли, если ее радиус составляет 6371 километр и известно, что гравитационная постоянная \( G = 6.67430 \times 10^{-11} \) м^3/(кг * с^2)?