Каков логарифмический декремент затухания колебаний, если за 20 минут амплитуда колебаний груза массой 20 г на пружине
Каков логарифмический декремент затухания колебаний, если за 20 минут амплитуда колебаний груза массой 20 г на пружине с жесткостью 5 Н/м уменьшается в 6 раз?
04.12.2023 04:22
Написать свой ответ:
Объяснение: Логарифмический декремент затухания является величиной, определяющей степень затухания амплитуды колебаний системы через определенный промежуток времени. Обозначается как δ.
Для решения задачи нам дана масса груза (m = 20 г), жесткость пружины (k = 5 Н/м) и время уменьшения амплитуды колебаний в 6 раз (t = 20 минут).
Логарифмический декремент затухания может быть выражен следующей формулой:
δ = ln(A₀/A₁) / n
где A₀ - начальная амплитуда колебаний, A₁ - амплитуда колебаний через время t, n - количество периодов колебаний за время t.
Мы знаем, что амплитуда колебаний уменьшается в 6 раз, поэтому A₁ = (1/6) * A₀.
Также, количество периодов колебаний можно найти, используя формулу n = 2π√(m/k).
Подставляя все значения в формулу логарифмического декремента, получим:
δ = ln(A₀ / ((1/6) * A₀)) / (2π√(m/k))
Пример:
Значение начальной амплитуды колебаний A₀ = 10 см (допустим).
δ = ln(10 / ((1/6) * 10)) / (2π√((20/1000) / 5))
Совет: Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется изучить теорию по логарифмическому декременту затухания колебаний и связанной с ним математике.
Проверочное упражнение:
При массе груза 100 г и жесткости пружины 10 Н/м амплитуда колебаний уменьшилась в 8 раз за время 30 минут. Найдите логарифмический декремент затухания.
Описание: Логарифмический декремент затухания (ЛДЗ) используется для измерения уровня затухания колебаний в системе. Он определяется как изменение натурального логарифма амплитуды колебаний со временем. Формула для расчета ЛДЗ следующая:
ЛДЗ = ln((A1 / A2)) / n,
где A1 и A2 - амплитуды колебаний на начальной и последующей точках, соответственно, а n - количество периодов колебаний, за которые произошло уменьшение амплитуды в определенное число раз.
В данной задаче, нам дано, что амплитуда колебаний уменьшилась в 6 раз в течение 20 минут. Мы также знаем, что начальная амплитуда равна A1, а конечная амплитуда равна A2 = A1 / 6 (поскольку амплитуда уменьшилась в 6 раз).
Используя формулу для ЛДЗ, мы можем выразить его значение:
ЛДЗ = ln((A1 / (A1 / 6))) / n.
Для более подробного решения, нам необходимо знать количество периодов колебаний (n) за данное время. Если данная информация известна, мы можем применить формулу, чтобы вычислить точное значение ЛДЗ для этой задачи.
Дополнительный материал: Предположим, что количество периодов колебаний равно 10. Мы можем использовать данное значение, чтобы вычислить ЛДЗ следующим образом:
ЛДЗ = ln((A1 / (A1 / 6))) / 10.
Совет: Чтобы лучше понять концепцию логарифмического декремента затухания, вы можете пройти через несколько примеров с разными значениями амплитуды, времени и количества периодов колебаний. При этом экспериментирование с разными значениями поможет вам лучше понять, как ЛДЗ зависит от этих переменных.
Задание: Если амплитуда колебаний груза массой 30 г на пружине с жесткостью 8 Н/м уменьшается в 4 раза за 10 минут, каково значение ЛДЗ для этой системы?