Как можно доказать, что векторы a и b перпендикулярны друг другу, если известно, что |a - 1000b| = |a + 1000b|?

Tема: Доказательство перпендикулярности векторов

Описание: Чтобы доказать, что векторы a и b перпендикулярны друг другу, нам нужно использовать информацию, данную в условии задачи, а именно, что модули разности и суммы векторов равны между собой.

Дано: |a - 1000b| = |a + 1000b|

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся свойством перпендикулярности, согласно которому два вектора перпендикулярны друг другу, если и только если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов a и b может быть записано как: a · b = |a| * |b| * cos(θ), где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а θ - угол между векторами.

Используя свойство перпендикулярности векторов, мы можем сравнить модули разности и суммы векторов:

|a - 1000b| = |a + 1000b|

Раскроем модули разности и суммы векторов, используя свойство скалярного произведения:

|a| * |1 - 1000b / a| = |a| * |1 + 1000b / a|

Упростим уравнение:

|1 - 1000b / a| = |1 + 1000b / a|

Убрав модули, получаем:

1 - 1000b / a = 1 + 1000b / a

Отбросим единичные значения:

-1000b / a = 1000b / a

Переместим переменные на одну сторону уравнения:

-1000b / a - 1000b / a = 0

-2000b / a = 0

Таким образом, если -2000b / a = 0, то a и b перпендикулярны друг другу.

Доп. материал:
Задача: Вектор a = (2, 4) и вектор b = (-1, 0.5). Докажите, что векторы a и b перпендикулярны друг другу, если |a - 1000b| = |a + 1000b|.
Шаги:
1. Вычислим модули разности и суммы векторов: |a - 1000b| = |-1, 2.5| = 2.5, |a + 1000b| = |3, 5.5| = 6.5
2. Сравним модули: 2.5 ≠ 6.5
3. Значит, векторы a и b не перпендикулярны друг другу.

Совет: Когда вы работаете с векторами, важно помнить, что для доказательства перпендикулярности векторов необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. Обратите внимание на знаки и правильность умножения и деления в расчетах, чтобы избежать ошибок.

Задание для закрепления: Пусть вектор a = (3, -5) и вектор b = (2, 4). Докажите, что векторы a и b перпендикулярны друг другу, если |a - 100b| = |a + 100b|.