1) Каков модуль скорости точки в момент времени t = 1 секунда, если движение точки по известной траектории задано

Тема вопроса: Движение по траектории

Инструкция:
1) Чтобы найти модуль скорости точки в момент времени t = 1 секунда, мы можем использовать уравнение для скорости. Скорость (v) является производной функции пути (s) по времени (t). То есть v = ds/dt. В данном случае у нас задана функция пути s = -3 + 5t + t^2. Продифференцируем ее по времени, чтобы найти скорость v: s" = 5 + 2t. Подставим t = 1 секунда в полученное выражение: s"(1) = 5 + 2(1) = 7 (м/с). Модуль скорости всегда положительный, поэтому модуль скорости точки в момент времени t = 1 секунда равен 7 м/с.

2) Чтобы найти радиус кривизны траектории в момент времени t = 1 секунда, мы можем использовать формулу для радиуса кривизны (ρ), связанную с нормальным ускорением (an): ρ = v^2 / an, где v - модуль скорости. Мы уже нашли модуль скорости в предыдущей задаче, он равен 7 м/с. Нам также дано, что нормальное ускорение равно 5 м/с². Подставим значения в формулу для радиуса кривизны: ρ = (7^2) / 5 = 9.8 метра.

3) В данном случае у нас задана функция пути s = 5 - 4t + 3t^3 и нормальное ускорение an = 10 м/с². Чтобы найти радиус кривизны траектории в момент времени t = 1 секунда, мы можем использовать ту же формулу: ρ = v^2 / an. Для этого нам нужно найти скорость v. Скорость (v) является производной функции пути (s) по времени (t). Продифференцируем функцию пути по времени s = 5 - 4t + 3t^3: s" = -4 + 9t^2. Подставим t = 1 секунда: s"(1) = -4 + 9(1)^2 = 5 (м/с). Мы нашли модуль скорости точки в момент времени t = 1 секунда, но нам нужен именно скоростной вектор, поэтому скорость будет направлена в ту сторону, где происходит движение точки, то есть в отрицательном направлении s". Таким образом, скорость v = -5 (м/с). Подставим значения в формулу для радиуса кривизны: ρ = (-5^2) / 10 = -2.5 метра.

Демонстрация:
1) Вопрос: Каков модуль скорости точки в момент времени t = 1 секунда, если движение точки по известной траектории задано уравнением s = -3 + 5t + t^2 (м)?
Ответ: Модуль скорости точки в момент времени t = 1 секунда равен 7 м/с.

2) Вопрос: В момент времени t = 1 секунда, при движении точки по заданной траектории по закону s(t) = -6 + 5t - t^2 (м), каков радиус кривизны траектории ρ (м), если нормальное ускорение аn = 5 (м/с²)?
Ответ: Радиус кривизны траектории в момент времени t = 1 секунда равен 9.8 метра.

3) Вопрос: Если точка движется по заданной траектории по закону s(t) = 5 - 4t + 3t^3 (м), а в момент времени t = 1 секунда, нормальное ускорение равно аn = 10 (м/с²), каково значение радиуса кривизны траектории ρ (м) в этот момент времени?
Ответ: Значение радиуса кривизны траектории в момент времени t = 1 секунда равно -2.5 метра.

Совет:
- Прежде чем решать задачи движения по траектории, убедитесь, что вы понимаете, как найти скорость и радиус кривизны, используя соответствующие формулы.
- Изучите основные понятия, связанные с движением по траектории, такие как скорость, ускорение, радиус кривизны и нормальное ускорение.

Тема занятия: Математика - Движение по траектории

1) Объяснение:
Для нахождения модуля скорости точки в заданный момент времени t = 1 секунда, необходимо сначала найти производную функции s(t) = -3 + 5t + t^2, которая задает траекторию движения. Производная функции s(t) будет представлять собой скорость точки в момент времени t.

Сначала найдем производную от каждого члена функции s(t):
s"(t) = d/dt(-3) + d/dt(5t) + d/dt(t^2)
= 0 + 5 + 2t
= 5 + 2t

Теперь подставим t = 1 секунда в выражение для производной:
s"(1) = 5 + 2 * 1
= 7 м/с

Модуль скорости точки в момент времени t = 1 секунда равен 7 м/с.

Например:
Найдите модуль скорости точки в момент времени t = 1 секунда, если движение точки по траектории задано уравнением s = -3 + 5t + t^2 (м).

Совет:
Для лучшего понимания темы движения по траектории, рекомендуется изучить основные понятия, такие как скорость, ускорение, их связь с производной функции расстояния по времени, а также правила дифференцирования.

Задание для закрепления:
Найдите модуль скорости точки в момент времени t = 2 секунды, если движение точки по траектории задано уравнением s = 2t^2 + 3t + 1 (м).