Какой будет градиент функции z=7x^2+2y^3 в точке (0;-2)? Варианты ответов: a. -2i b. 2j c. I-2j

Тема урока: Градиент функции

Разъяснение: Градиент функции - это вектор, который указывает наибольшее направление изменения функции в заданной точке. Для функции z=7x^2+2y^3, чтобы найти градиент в точке (0;-2), необходимо взять частные производные по x и y, а затем подставить значения координат точки.

Частная производная по x получается путем дифференцирования функции по x считая y как константой:
∂z/∂x = d(7x^2+2y^3)/dx = 14x.

Частная производная по y получается путем дифференцирования функции по y считая x как константой:
∂z/∂y = d(7x^2+2y^3)/dy = 6y^2.

Теперь подставляем значения координат точки (0;-2) в эти производные:
∂z/∂x = 14(0) = 0,
∂z/∂y = 6(-2)^2 = 24.

Итак, градиент функции z=7x^2+2y^3 в точке (0;-2) равен вектору (0, 24), где 0 - компонента по x (i-направление), а 24 - компонента по y (j-направление).

Доп. материал: Найти градиент функции f(x,y) = 3x^2 + 4y^3 в точке (2, -1).

Совет: Для вычисления градиента функции, не забудьте взять частные производные по каждой переменной и подставить значения координат точки.

Дополнительное задание: Найти градиент функции g(x,y) = 5xy + 2x^2 в точке (1, 3).