Фирма арендовала 5 автомобилей. Известно, что вероятность аварии для каждого автомобиля в течение срока договора

Предмет вопроса: Биномиальное распределение

Инструкция:
Биномиальное распределение используется для моделирования случаев, когда проводится серия независимых испытаний с двумя исходами: успехом (обычно обозначается как "вероятность успеха") и неудачей.

В данной задаче у нас есть 5 автомобилей, вероятность аварии для каждого автомобиля составляет 0,3. Можно рассматривать каждую аварию как одиночное испытание со двумя исходами: аварией (успех) или без аварии (неудача). Таким образом, мы имеем дело с биномиальным распределением, где количество аварий будет случайной величиной.

Чтобы составить распределение случайной величины - количество аварий, нам необходимо знать количество испытаний (5) и вероятность успеха (0,3). Мы будем использовать формулу для биномиального распределения:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где P(X=k) - вероятность получить k успехов из n испытаний, C(n, k) - количество сочетаний из n по k, p - вероятность успеха, (1-p) - вероятность неудачи.

Математическое ожидание (M) в биномиальном распределении равно n * p, а дисперсия (D) равна n * p * (1-p). Стандартное отклонение (σ) является квадратным корнем из дисперсии.

Пример:
Мы уже знаем, что у нас есть 5 автомобилей, и вероятность аварии для каждого автомобиля составляет 0,3. Давайте рассчитаем распределение случайной величины - количество аварий, математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.

Распределение случайной величины - количество аварий:
P(X=0) = C(5, 0) * 0,3^0 * (1-0,3)^(5-0) = 1 * 1 * 0,7^5 = 0,16807
P(X=1) = C(5, 1) * 0,3^1 * (1-0,3)^(5-1) = 5 * 0,3 * 0,7^4 = 0,36015
P(X=2) = C(5, 2) * 0,3^2 * (1-0,3)^(5-2) = 10 * 0,3^2 * 0,7^3 = 0,3087
P(X=3) = C(5, 3) * 0,3^3 * (1-0,3)^(5-3) = 10 * 0,3^3 * 0,7^2 = 0,1323
P(X=4) = C(5, 4) * 0,3^4 * (1-0,3)^(5-4) = 5 * 0,3^4 * 0,7^1 = 0,02835
P(X=5) = C(5, 5) * 0,3^5 * (1-0,3)^(5-5) = 1 * 0,3^5 * 0,7^0 = 0,00243

Математическое ожидание (M):
M = n * p = 5 * 0,3 = 1,5

Дисперсия (D):
D = n * p * (1-p) = 5 * 0,3 * (1-0,3) = 1,05

Стандартное отклонение (σ):
σ = √D = √1,05 ≈ 1,0247

Совет:
Чтобы лучше понять биномиальное распределение, можно создать таблицу с вероятностями для каждого количества успехов (k) и построить график функции распределения данных вероятностей. Это поможет визуализировать, как вероятность количества аварий изменяется для данной ситуации. Также полезно запомнить формулы для математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения в биномиальном распределении.

Практика:
Пожалуйста, найдите вероятность, что будет произведено не более двух аварий за срок лизингового соглашения (P(X <= 2)).