Студенту дается 3 попытки пересдать экзамен. Вероятность того, что он сдаст экзамен с первой попытки, составляет

Закон распределения для числа попыток сдачи экзамена:

Для составления закона распределения, у нас имеется информация о вероятности сдачи экзамена с каждой попытки. Пусть X - случайная величина, представляющая число попыток сдачи экзамена. Тогда, возможные значения X - это 1, 2 и 3 (так как студенту дается 3 попытки).

Вероятность сдать с первой попытки составляет 0,4, вероятность сдать со второй попытки - 0,6, а вероятность сдать с третьей попытки - 0,8. Заметим, что вероятность несдачи экзамена с каждой попытки равна 1 минус вероятность успеха:

P(X=1) = 0,4 (вероятность сдать с первой попытки)
P(X=2) = (1-0,4) * 0,6 (вероятность не сдать с первой попытки и сдать со второй)
P(X=3) = (1-0,4)*(1-0,6)*0,8 (вероятность не сдать ни с первой, ни со второй попытки и сдать с третьей)

Теперь, чтобы построить функцию распределения и график, найдем кумулятивные вероятности:

F(X=1) = P(X=1) = 0,4
F(X=2) = P(X=1) + P(X=2) = 0,4 + (1-0,4)*0,6 = 0,4+0,36 = 0,76
F(X=3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,4 + (1-0,4)*0,6 + (1-0,4)*(1-0,6)*0,8 = 0,4 + 0,36 + 0,096 = 0,856

Теперь можем построить функцию распределения и график:
Функция распределения:
F(X)= 0 при X < 1
F(X)= 0,4 при 1 <= X < 2
F(X)= 0,76 при 2 <= X < 3
F(X)= 0,856 при X >= 3

*Графики функции распределения и отображения попыток сдачи экзамена на оси X с соответствующими значениями вероятности на оси Y.*

Математическое ожидание и дисперсия:

Математическое ожидание (m(X)) для данного закона распределения можно найти, умножая каждое возможное значение X на соответствующую вероятность и суммируя результаты:

m(X) = (1 * P(X=1)) + (2 * P(X=2)) + (3 * P(X=3))
= (1 * 0,4) + (2 * 0,36) + (3 * 0,096)
= 0,4 + 0,72 + 0,288
= 1,408

Дисперсия (d(X)) является мерой разброса случайной величины вокруг ее среднего значения. Она может быть вычислена следующим образом:

d(X) = (1 * P(X=1) * (1 - m(X))^2) + (2 * P(X=2) * (2 - m(X))^2) + (3 * P(X=3) * (3 - m(X))^2)
= (1 * 0,4 * (1 - 1,408)^2) + (2 * 0,36 * (2 - 1,408)^2) + (3 * 0,096 * (3 - 1,408)^2)
= (0,4 * (-0,408)^2) + (0,72 * 0,592^2) + (0,288 * 1,592^2)
= (0,4 * 0,166464) + (0,72 * 0,350464) + (0,288 * 2,531264)
= 0,0665856 + 0,24532928 + 0,729466752
= 1,041381032

Таким образом, математическое ожидание m(X) равно 1,408 и дисперсия d(X) равна 1,041381032.