Как найти комплексное число z, если z = (1-i)^100 / (корень 3+i)^50?

Тема вопроса: Комплексные числа

Инструкция: Для решения этой задачи, нам нужно найти значение комплексного числа z. Для начала, давайте разберемся с выражениями в знаменателе и числителе отдельно.

В числителе у нас есть комплексное число (1-i), возведенное в степень 100, а в знаменателе у нас есть корень из 3, прибавленный к комплексному числу i, возведенному в степень 50.

После того как мы найдем значения числителя и знаменателя, мы разделим числитель на знаменатель, чтобы получить значение комплексного числа z.

Давайте начнем с числителя. Чтобы возвести (1-i) в степень 100, мы можем использовать формулу показательной функции комплексного числа:

(1-i)^100 = |1-i|^100 * (cos(θ) + i*sin(θ))^100,

где |1-i| - модуль числа (1-i), θ - аргумент числа (1-i).

Модуль числа (1-i) можно найти с помощью формулы: |a+bi| = √(a^2 + b^2).

Аргумент числа (1-i) можно найти с помощью формулы: θ = arctan(b/a).

Давайте найдем модуль и аргумент числа (1-i):

|1-i| = √(1^2 + (-1)^2) = √2,

θ = arctan((-1)/1) = -π/4.

Теперь найдем значения cos(θ) и sin(θ):

cos(θ) = cos(-π/4) = √2/2,

sin(θ) = sin(-π/4) = -√2/2.

Теперь, подставив значения в формулу показательной функции, получим:

(1-i)^100 = (√2)^100 * ((√2/2) + i*(-√2/2))^100.

Выполнив вычисления, получим числитель.

Для знаменателя, мы должны найти корень из 3, прибавленный к комплексному числу i, возведенному в степень 50.

Корень из 3 равен √3, а комплексное число i возвели в степень 50 можно представить как (cos(π/2) + i*sin(π/2))^50.

По аналогии с числителем, найдем значения cos(π/2) и sin(π/2):

cos(π/2) = 0,

sin(π/2) = 1.

Теперь, подставив значения в выражение, получим знаменатель.

И, наконец, мы делим числитель на знаменатель:

z = Numerator / Denominator.

Производим вычисления и получаем ответ.

Например: Найдите комплексное число z, если z = (1-i)^100 / (корень 3+i)^50.

Совет: Для определения значения числа, возведенного в степень, можно использовать формулу показательной функции комплексного числа.

Задание: Найдите значение комплексного числа z, если z = (2+3i)^4 / (корень 2+i)^3.