Задание. Исходные данные: треугольник АВС с координатами точек А(2;-3;0), В(4;3;6), С(0;-1;-2). Найти: 1. координаты

Предмет вопроса: Векторы и свойства треугольника

Пояснение:
Чтобы решить данную задачу, необходимо знать основные свойства векторов и треугольника. Вектор может быть представлен в виде направленного отрезка, у которого указано начало и конец. Координаты вектора могут быть найдены как разность координат конечной и начальной точек.

Периметр треугольника - это сумма длин его сторон. Длина стороны может быть найдена с использованием формулы расстояния между двумя точками.

Для нахождения косинусов углов треугольника потребуются значения длин его сторон. По формуле косинуса можно определить косинус угла, прилегающего к данной стороне.

Координаты середин сторон треугольника можно найти как среднее арифметическое координат точек, задающих данную сторону.

Например:
1. Координаты векторов:
- Вектор AB: (4-2, 3-(-3), 6-0) = (2, 6, 6)
- Вектор AC: (0-2, -1-(-3), -2-0) = (-2, 2, -2)
- Вектор BC: (0-4, -1-3, -2-6) = (-4, -4, -8)

2. Периметр треугольника ABC:
- Длина стороны AB: sqrt((2-4)^2 + (-3-3)^2 + (0-6)^2) = sqrt(4 + 36 + 36) = sqrt(76)
- Длина стороны AC: sqrt((2-0)^2 + (-3-(-1))^2 + (0-(-2))^2) = sqrt(4 + 4 + 4) = sqrt(12)
- Длина стороны BC: sqrt((4-0)^2 + (3-(-1))^2 + (6-(-2))^2) = sqrt(16 + 16 + 64) = sqrt(96)
- Периметр треугольника ABC: sqrt(76) + sqrt(12) + sqrt(96)

3. Косинусы углов треугольника ABC:
- Косинус угла A: cos(A) = (AB*AC)/(|AB|*|AC|)
- Косинус угла B: cos(B) = (BA*BC)/(|BA|*|BC|)
- Косинус угла C: cos(C) = (CA*CB)/(|CA|*|CB|)

4. Координаты середин сторон треугольника ABC:
- Координаты середины стороны AB: ((2+4)/2, (-3+3)/2, (0+6)/2) = (3, 0, 3)
- Координаты середины стороны AC: ((2+0)/2, (-3+(-1))/2, (0+(-2))/2) = (1, -2, -1)
- Координаты середины стороны BC: ((4+0)/2, (3+(-1))/2, (6+(-2))/2) = (2, 1, 2)

Совет:
Чтобы лучше разобраться в данной теме, рекомендуется изучить основные свойства векторов и треугольников, а также навыки работы с координатами точек. Практика в решении подобных задач также поможет закрепить материал.

Практика:
Дан треугольник АВС с координатами точек А(2;3;0), В(2;1;-4), С(3;-4;1). Найдите:
1. Координаты всех векторов.
2. Периметр треугольника АВС.
3. Косинусы всех углов треугольника.
4. Координаты середин всех сторон треугольника.

Треугольник ABC:
Исходные данные: A(2;-3;0), B(4;3;6), C(0;-1;-2)

1. Координаты всех векторов:
Для нахождения вектора, соединяющего две точки, необходимо вычесть координаты начальной точки из координат конечной точки.

Вектор AB = B - A = (4;3;6) - (2;-3;0) = (2;6;6)
Вектор AC = C - A = (0;-1;-2) - (2;-3;0) = (-2;2;-2)
Вектор BC = C - B = (0;-1;-2) - (4;3;6) = (-4;-4;-8)

2. Периметр треугольника ABC:
Периметр треугольника вычисляется по формуле:

Периметр = длина AB + длина BC + длина AC
Длина вектора вычисляется с помощью формулы длины вектора = √(x^2 + y^2 + z^2), где x, y, z - координаты вектора.

Длина AB = √((2)^2 + (6)^2 + (6)^2) = √(4 + 36 + 36) = √76
Длина BC = √((-4)^2 + (-4)^2 + (-8)^2) = √(16 + 16 + 64) = √96
Длина AC = √((-2)^2 + (2)^2 + (-2)^2) = √(4 + 4 + 4) = √12

Периметр треугольника ABC = √76 + √96 + √12

3. Косинусы всех углов треугольника ABC:
Косинус угла между двумя векторами можно вычислить с помощью формулы:

cos(θ) = (A * B) / (|A| * |B|), где A * B - скалярное произведение векторов, |A| - модуль вектора A, |B| - модуль вектора B.

cos(α) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)
cos(β) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)
cos(γ) = (AC * BC) / (|AC| * |BC|)

4. Координаты середин всех сторон треугольника ABC:
Для нахождения середины стороны треугольника необходимо найти среднее арифметическое координат начальной и конечной точек стороны.

Середина AB = (A + B) / 2 = ((2;-3;0) + (4;3;6)) / 2 = (6/2;0/2;6/2) = (3;0;3)
Середина BC = (B + C) / 2 = ((4;3;6) + (0;-1;-2)) / 2 = (4/2;2/2;4/2) = (2;1;2)
Середина AC = (A + C) / 2 = ((2;-3;0) + (0;-1;-2)) / 2 = (2/2;-4/2;-2/2) = (1;-2;-1)

--------------------------------------------------

Треугольник ABC:
Исходные данные: A(2;3;0), B(2;1;-4), C(3;-4;1)

1. Координаты всех векторов:
Вектор AB = B - A = (2;1;-4) - (2;3;0) = (0;-2;-4)
Вектор AC = C - A = (3;-4;1) - (2;3;0) = (1;-7;1)
Вектор BC = C - B = (3;-4;1) - (2;1;-4) = (1;-5;5)

2. Периметр треугольника ABC:
Длина AB = √((0)^2 + (-2)^2 + (-4)^2) = √(0 + 4 + 16) = √20
Длина BC = √((1)^2 + (-5)^2 + (5)^2) = √(1 + 25 + 25) = √51
Длина AC = √((1)^2 + (-7)^2 + (1)^2) = √(1 + 49 + 1) = √51

Периметр треугольника ABC = √20 + √51 + √51

3. Косинусы всех углов треугольника ABC:
cos(α) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)
cos(β) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)
cos(γ) = (AC * BC) / (|AC| * |BC|)

4. Координаты середин всех сторон треугольника ABC:
Середина AB = (A + B) / 2 = ((2;3;0) + (2;1;-4)) / 2 = (4/2;4/2;-4/2) = (2;2;-2)
Середина BC = (B + C) / 2 = ((2;1;-4) + (3;-4;1)) / 2 = (5/2;-3/2;-3/2) = (2.5;-1.5;-1.5)
Середина AC = (A + C) / 2 = ((2;3;0) + (3;-4;1)) / 2 = (5/2;-1/2;1/2) = (2.5;-0.5;0.5)