Задание 1. Распределение вероятностей для дискретной случайной величины X задано следующим образом: X: 10; 12

Распределение вероятностей для дискретной случайной величины X:
X: 10; 12; 15; 17; 21
p: 0,2; 0,2; 0,4; 0,1; а

1) Определение значения а:
Для определения значения а, нужно использовать свойство, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Таким образом, суммируем все вероятности и приравниваем их к 1:
0,2 + 0,2 + 0,4 + 0,1 + а = 1
0,9 + а = 1
а = 1 - 0,9
а = 0,1

Ответ: значение а равно 0,1.

2) Построение графика многоугольника распределения:
График многоугольника распределения представляет собой ступенчатую линию, где по горизонтальной оси откладываются значения X, а по вертикальной оси - вероятности p. Значения X будут 10, 12, 15, 17 и 21, а соответствующие вероятности будут 0,2, 0,2, 0,4, 0,1 и 0,1. Построим график:

(p: 0) (p: 0,2)
--------------
| |
| |
| |
| |
| |
--------------
| |
| |
--------------
| |
--------------
| |
| |
(p: 0,8) (p: 1)

3) Нахождение функции распределения F(x) и построение графика:
Функция распределения F(x) определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее или равное x. Чтобы найти F(x), суммируем все вероятности p до значения x. Построим график функции распределения:

F(x) = 0,2 (для x ≤ 10)
F(x) = 0,4 (для 10 < x ≤ 12)
F(x) = 0,8 (для 12 < x ≤ 15)
F(x) = 0,9 (для 15 < x ≤ 17)
F(x) = 1 (для 17 < x ≤ 21)

График функции распределения будет ступенчатой линией, где по горизонтальной оси откладываются значения X, а по вертикальной оси - вероятности F(x).

4) Вычисление математического ожидания M(X), дисперсии D(X) и среднего квадратического отклонения:
Математическое ожидание M(X) для дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений значений X на соответствующие им вероятности p:

M(X) = (10 * 0,2) + (12 * 0,2) + (15 * 0,4) + (17 * 0,1) + (21 * 0,1)
M(X) = 2 + 2,4 + 6 + 1,7 + 2,1
M(X) = 14,2

Дисперсия D(X) вычисляется как сумма произведений квадратов разностей значений X и математического ожидания M(X) на соответствующие им вероятности p:

D(X) = [(10 - 14,2)^2 * 0,2] + [(12 - 14,2)^2 * 0,2] + [(15 - 14,2)^2 * 0,4] + [(17 - 14,2)^2 * 0,1] + [(21 - 14,2)^2 * 0,1]
D(X) = [(-4,2)^2 * 0,2] + [(-2,2)^2 * 0,2] + [(0,8)^2 * 0,4] + [(2,8)^2 * 0,1] + [(6,8)^2 * 0,1]
D(X) = [17,64 * 0,2] + [4,84 * 0,2] + [0,64 * 0,4] + [7,84 * 0,1] + [46,24 * 0,1]
D(X) = 3,528 + 0,968 + 0,256 + 0,784 + 4,624
D(X) = 10,16

Среднее квадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

s = √D(X) = √10,16
s ≈ 3,19

Ответ:
а) Значение а равно 0,1.
б) Форма многоугольника распределения представлена в графике, где по горизонтальной оси откладываются значения X, а по вертикальной оси - вероятности p.
в) Функция распределения F(x) и ее график показывают вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее или равное x.
г) Математическое ожидание M(X) равно 14,2, дисперсия D(X) равна 10,16, а среднее квадратическое отклонение равно примерно 3,19.