Какова площадь области, ограниченной кривыми, заданными следующими функциями: y=x2-2x+2; x=1; x=2; y=0?

Тема занятия: Площадь области, ограниченной кривыми

Описание: Для решения данной задачи, необходимо найти площадь области, ограниченной кривыми и осями координат. Для этого мы можем воспользоваться методом интегралов.

Данная область ограничена графиком функции y = x^2 - 2x + 2, вертикальной прямой x = 1, вертикальной прямой x = 2 и осью x (где y = 0).

Сначала найдем точки пересечения кривой y = x^2 - 2x + 2 с вертикальными прямыми.

Подставляя x = 1 в уравнение кривой, получим y = 1^2 - 2*1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1.
Подставляя x = 2 в уравнение кривой, получим y = 2^2 - 2*2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2.

Теперь строим график кривой и вертикальных прямых на координатной плоскости.

----Графическое представление----

Чтобы найти площадь области, ограниченной кривыми, мы можем разделить эту область на две части: прямоугольник и площадь под кривой.

1) Прямоугольник: ширина прямоугольника равна разности x-координат вертикальных прямых (2-1 = 1), а высота прямоугольника равна максимальному значению функции y = x^2 - 2x + 2 на данном интервале.

Подставляя x = 1 и x = 2 в функцию, получим следующие значения: y(1) = 1 и y(2) = 2. Значит, высота прямоугольника равна 2 - 1 = 1.

Таким образом, площадь прямоугольника равна ширине умноженной на высоту: 1 * 1 = 1.

2) Площадь под кривой: чтобы найти площадь под кривой, мы должны найти интеграл функции y = x^2 - 2x + 2 на данном интервале.

Интеграл функции y = x^2 - 2x + 2 на интервале от 1 до 2 равен S = ∫(1,2)(x^2 - 2x + 2)dx.

Суммируем каждый член функции:
S = ∫(1,2)(x^2 - 2x + 2)dx = [(x^3/3 - x^2 + 2x)](1,2).

Подставляем верхний и нижний пределы интегрирования:
S = [(2^3/3 - 2^2 + 2*2)] - [(1^3/3 - 1^2 + 2*1)]
S = [(8/3 - 4 + 4)] - [(1/3 - 1 + 2)]
S = [(8/3)] - [(-2/3)]
S = 8/3 + 2/3
S = 10/3

Таким образом, площадь под кривой равна 10/3.

Итоговая площадь области, ограниченной кривыми, равна сумме площади прямоугольника и площади под кривой:
S_total = S_rectangle + S_curve
S_total = 1 + 10/3
S_total = (3/3) + (10/3)
S_total = 13/3

Итак, площадь области, ограниченной кривыми y = x^2 - 2x + 2, x = 1, x = 2 и y = 0, равна 13/3 (или около 4.333).

Совет: Чтобы лучше понять эту тему и запомнить ее, рекомендуется не только просмотреть решение данной задачи, но и самостоятельно решить несколько аналогичных задач. Понимание графика функции и метода интегралов является основой для успешного решения таких задач. Также стоит освежить в памяти правила интегрирования функций.

Задача на проверку: Найдите площадь области, ограниченной кривыми y = 2x^2 - 3x + 5, x = 0, x = 3 и y = 0.