Яка сума перших шести членів геометричної прогресії (bn), якщо b5 = 16, b8 = 1024?

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое шагом прогрессии.

Чтобы решить задачу, мы можем воспользоваться формулой для нахождения общего члена геометрической прогрессии:

\(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\),

где \(b_n\) - n-й член прогрессии,
\(b_1\) - первый член прогрессии,
\(q\) - шаг прогрессии,
\(n\) - порядковый номер члена прогрессии.

У нас даны значения \(b_5\) и \(b_8\), поэтому мы можем составить два уравнения и решить их систему для нахождения \(b_1\) и \(q\).

Исходя из данных задачи, у нас есть:

\(b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = 16\),

\(b_8 = b_1 \cdot q^{(8-1)} = 1024\).

Мы можем разделить эти уравнения друг на друга, чтобы избавиться от \(b_1\):

\(\frac{{b_5}}{{b_8}} = \frac{{b_1 \cdot q^4}}{{b_1 \cdot q^7}}\).

Упростив это выражение, мы получим:

\(\frac{{b_5}}{{b_8}} = q^{-3}\).

Теперь мы можем найти значение \(q\), взяв кубический корень от обеих сторон:

\(q = \sqrt[{-3}]{{\frac{{b_5}}{{b_8}}}}\).

Подставляя значения \(b_5 = 16\) и \(b_8 = 1024\) в это выражение, мы получаем:

\(q = \sqrt[{-3}]{{\frac{{16}}{{1024}}}}\).

Вычислив это значение, мы найдем \(q = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем найти значение \(b_1\), используя одно из исходных уравнений:

\(b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = 16\).

Подставляя \(q = \frac{1}{2}\) и \(b_5 = 16\) в это уравнение, мы можем найти \(b_1\):

\(16 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4\).

Вычислив это выражение, мы получаем \(b_1 = 128\).

Теперь, чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы \(n\) членов геометрической прогрессии:

\(S_n = \frac{{b_1 \cdot (q^n - 1)}}{{(q - 1)}}\).

Подставляя \(b_1 = 128\), \(q = \frac{1}{2}\) и \(n = 6\) в это выражение, мы можем найти сумму:

\(S_6 = \frac{{128 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 - 1}}{(\frac{1}{2} - 1)}\).

Вычислив это выражение, мы получаем \(S_6 = 254\).

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 254.

Совет: При решении задач на геометрические прогрессии обратите внимание на формулу для общего члена и сформулируйте уравнение на основе известных значений. Если у вас возникает система уравнений, попробуйте их соотносить, чтобы избавиться от неизвестных и решить задачу.

Упражнение: Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если \(b_1 = 2\) и \(q = 3\).