Яка сума невичерпної геометричної прогресії bn, якщо b1 + b3 = 20 і b2 + b4 = ...?

Тема занятия: Невичерпні геометричні прогресії

Пояснення: Невичерпна геометрична прогресія - це послідовність чисел, в якій кожне наступне число отримується множенням попереднього числа на фіксований співвідношення R (розміщено як коефіцієнт прогресії). Формула загального члена геометричної прогресії:

bn = b1 * R^(n-1)

де bn - n-те число прогресії, b1 - перше число прогресії, R - співвідношення прогресії, n - номер числа прогресії.

В даному завданні нам задано два рівняння:

b1 + b3 = 20 (1)

b2 + b4 = x (2)

Для початку давайте вирішимо перше рівняння:

Замінюємо n у формулі прогресії:

b1 + b1 * R^(3-1) = 20

b1 + b1 * R^2 = 20

b1 (1 + R^2) = 20

b1 = 20 / (1 + R^2) (3)

Тепер замінимо b1 у другому рівнянні:

20 / (1 + R^2) * R + 20 / (1 + R^2) * R^3 = x

20R / (1 + R^2) + 20R^3 / (1 + R^2) = x

20R + 20R^3 = x(1 + R^2) (4)

Отримане рівняння (4) є відповіддю на задачу.

Приклад використання: Розглянемо, якщо значення співвідношення прогресії R = 2.

Для R = 2, з рівняння (4):

20 * 2 + 20 * 2^3 = x(1 + 2^2)

40 + 160 = 9x

200 = 9x

x = 200/9

Порада: Для розв"язування задачі про невичерпні геометричні прогресії, використовуйте спочатку дані рівняння для знаходження b1 і після підстановки цього значення у заданий рядок, отримайте відповідь.

Вправа: Знайдіть значення x, якщо співвідношення прогресії R = 3.