What is the sum of the first 18 terms of an arithmetic progression (aₙ), given that a₄=120 and a₁₅=70?

Арифметическая прогрессия:

Разъяснение:
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждое следующее число получается путем прибавления к предыдущему числу постоянного разности. Обозначим арифметическую прогрессию как (aₙ), где "aₙ" представляет n-й член прогрессии.

Формула для (aₙ) выглядит следующим образом:
aₙ = a₁ + (n - 1)d,

где a₁ - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность между членами прогрессии.

В данной задаче нам известны значения a₄ = 120 и a₁₅ = 70. Мы хотим найти сумму первых 18 членов прогрессии.

Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии, чтобы найти сумму первых n членов:
Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ),

где Sₙ - сумма первых n членов прогрессии.

Нам известно, что n = 18, a₁ = a₄ и aₙ = a₁₅. Мы можем использовать эти значения, чтобы найти сумму первых 18 членов прогрессии.

Решение:
Подставим известные значения в формулу для (aₙ):
a₄ = a₁ + (4 - 1)d => 120 = a₁ + 3d.

Также, подставим известные значения в формулу для (aₙ):
a₁₅ = a₁ + (15 - 1)d => 70 = a₁ + 14d.

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a₁ и d). Решив эту систему уравнений, мы можем найти значения a₁ и d, а затем использовать их для нахождения суммы первых 18 членов прогрессии.

После решения этой системы уравнений, мы получим a₁ = 25 и d = -5.

Теперь, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии, чтобы найти сумму первых 18 членов:
Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ) => S₁₈ = (18/2)(25 + a₁₈).

Для нахождения a₁₈, можно использовать формулу для (aₙ):
aₙ = a₁ + (n - 1)d => a₁₈ = 25 + (18 - 1)(-5) => a₁₈ = 25 - 85 => a₁₈ = -60.

Подставим a₁₈ обратно в формулу для суммы:
S₁₈ = (18/2)(25 + (-60)) => S₁₈ = 9(-35) => S₁₈ = -315.

Таким образом, сумма первых 18 членов арифметической прогрессии равна -315.

Совет:
При решении задач с арифметическими прогрессиями, всегда начинайте с использования формулы для (aₙ) и известных значений, чтобы найти нужные вам переменные. Затем используйте полученные значения для нахождения суммы или других характеристик прогрессии.

Задача на проверку:
Найдите сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 10 и d = 3.