What is the simplified expression of sin(x+pi)-cos(-3pi/2-x)+sin(810-x)?

Тема урока: Упрощение выражений с тригонометрическими функциями.

Пояснение: Чтобы упростить данное выражение, мы можем использовать основные тригонометрические тождества.

Давайте упростим каждую функцию по отдельности.

1. sin(x+pi):
Используя тождество синуса суммы, получаем:
sin(x+pi) = sin(x)*cos(pi) + cos(x)*sin(pi)
= -sin(x)

2. cos(-3pi/2-x):
Так как cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b), получаем:
cos(-3pi/2-x) = cos(-3pi/2)*cos(x) + sin(-3pi/2)*sin(x)
= 0*cos(x) + (-1)*sin(x)
= -sin(x)

3. sin(810-x):
Поскольку sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b), получаем:
sin(810-x) = sin(810)*cos(x) - cos(810)*sin(x)
= sin(30)*cos(x) - cos(30)*sin(x)
= (1/2)*cos(x) - (√3/2)*sin(x)

Теперь, объединим все упрощенные функции и упорядочим полученное выражение:

(-sin(x)) - (-sin(x)) + [(1/2)*cos(x) - (√3/2)*sin(x)]

Упрощаем коэффициенты:

-sin(x) + sin(x) + (1/2)*cos(x) - (√3/2)*sin(x)

Упрощаем синусы:

-sin(x) + sin(x) - (√3/2)*sin(x) + (1/2)*cos(x)

Таким образом, упрощенное выражение равно:

(1/2)*cos(x) - (√3/2)*sin(x)

Совет: Для лучшего понимания и упрощения выражений с тригонометрическими функциями, важно знать основные тригонометрические тождества и уметь их применять. Регулярное практикование помогает закрепить материал и улучшить навыки работы с тригонометрическими функциями.

Упражнение: Упростите выражение: cos(2x+pi) + sin(x-pi/3) - 2cos^2(x)