Вариант II 1. Какие значения принимает функция y=cos(x) на отрезке [3π/4;11π/6]? 2. Запишите выражения для следующих

Тема занятия: Тригонометрические функции

Пояснение:
1. Для нахождения значений функции y=cos(x) на заданном отрезке [3π/4;11π/6], подставим граничные значения отрезка в функцию. Начнем с x=3π/4: y=cos(3π/4)=−√2/2. Затем, x = 11π/6: y = cos(11π/6) = −√3/2. Таким образом, функция y=cos(x) на отрезке [3π/4;11π/6] принимает значения −√2/2 и −√3/2.

2. а) Для нахождения выражения cos^2(π−t)+sin^2(t−π), воспользуемся тригонометрическими формулами. Заметим, что cos^2(π−t) + sin^2(t−π) = sin^2(t) + cos^2(t) = 1.

б) Для нахождения выражения cos(t)ctg(π/2+t)cos(π/2+t), заметим, что ctg(π/2+t) = 1/tg(π/2+t) = -tan(t). Таким образом, выражение принимает вид cos(t)(-tan(t))cos(π/2+t) = -sin(t)cos(π/2+t).

3. Для определения значений переменной t, удовлетворяющих уравнению sin(π+t)+cos(π/2+t)= √2, рассмотрим каждый слагаемое по отдельности. Учитывая, что sin(π+t) = cos(t) и cos(π/2+t) = -sin(t), приведем уравнение к виду cos(t)-sin(t) = √2. Затем, применим формулу cos(t) = sin(π/2 - t) и заменим ее в уравнении: sin(π/2 - t) - sin(t) = √2. Сократим sin(t) из обоих сторон: sin(π/2 - t) = √2 + sin(t). Отсюда следует, что переменная t принимает значения: π/2 - t = arcsin(√2 + sin(t)). Решая уравнение полученное уравнение для t, найдем значение переменной t.

4. Для построения графика функции y=sin(x+π/4) - 3, построим график функции y=sin(x+π/4) и сдвинем его вниз на 3 единицы.

5. График функции y=2cos(x^3) будет иметь форму и свойства обычного графика функции y=cos(x^3), но будет умножен на 2, что увеличит значения вершины и амплитуду.

6. Для доказательства утверждения f(x)=−4x^2+3x−4 выполняется f(cos(x))=−4sin^2(x)+3cos(x), подставим cos(x) вместо x в f(x) и произведем необходимые вычисления. Получим f(cos(x))=−4cos^2(x)+3cos(x)−4 = −4(1−sin^2(x))+3cos(x)−4 = −4+4sin^2(x)+3cos(x)−4 = −4sin^2(x)+3cos(x), что и требовалось доказать.

Например:

1. Найти значения функции y=cos(x) на отрезке [3π/4;11π/6].
2. Выписать выражения для:
а) cos^2(π−t)+sin^2(t−π);
б) cos(t)ctg(π/2+t)cos(π/2+t).
3. Решить уравнение: sin(π+t)+cos(π/2+t)= √2.
4. Построить график функции y=sin(x+π/4) −3.
5. Нарисовать график функции y=2cos(x^3).
6. Доказать равенство f(x)=−4x^2+3x−4 выполняется f(cos(x))=−4sin^2(x)+3cos(x).

Совет: Для освоения тригонометрических функций, рекомендуется изучить основные формулы, связанные с ними, и научиться применять их в различных задачах. Регулярная практика с решением задач поможет закрепить материал и лучше понять свойства функций.

Задание для закрепления: Найти все значения переменной t, удовлетворяющие уравнению sin(t)+sin(π/2−t)=√2.