Вариант 3 k-5 8) 1. Пожалуйста, найдите корни следующих уравнений: а) 7x2 - 9x + 2 = 0; б) 7x2 - 28 = 0; в) 5x2

Решение:

1. а) 7x² - 9x + 2 = 0:

Для нахождения корней данного уравнения, мы будем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b² - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

В данном случае, a = 7, b = -9 и c = 2. Подставим эти значения в формулу дискриминанта: D = (-9)² - 4 * 7 * 2.

Вычислим значение дискриминанта: D = 81 - 56 = 25.

Так как значение дискриминанта положительное, у уравнения есть два действительных корня.

Теперь найдём сами корни. Используем формулу: x = (-b ± √D) / (2a).

x₁ = (-(-9) + √25) / (2 * 7) = (9 + 5) / 14 = 14 / 14 = 1.

x₂ = (-(-9) - √25) / (2 * 7) = (9 - 5) / 14 = 4 / 14 = 2/7.

Ответ: У уравнения 7x² - 9x + 2 = 0 два корня: x₁ = 1 и x₂ = 2/7.

б) 7x² - 28 = 0:

Для начала, мы можем сократить оба члена уравнения на 7: x² - 4 = 0.

Затем, вычислим корни данного уравнения. x² - 4 = 0 может быть записано в виде (x - 2)(x + 2) = 0.

Теперь, используем свойство нулевого деления и получим два возможных варианта решения: x - 2 = 0 и x + 2 = 0.

x₁ = 2; x₂ = -2.

Ответ: У уравнения 7x² - 28 = 0 два корня: x₁ = 2 и x₂ = -2.

в) 5x² + 12x = 0:

Здесь мы можем сократить общий множитель в уравнении, получив x(5x + 12) = 0.

Теперь у нас есть два выражения, x = 0 и 5x + 12 = 0.

Рассмотрим каждое из них по отдельности:

1. x = 0
Если x = 0, то это будет одним из корней уравнения.

2. 5x + 12 = 0
Решим это уравнение относительно x: x = -12/5.

Ответ: У уравнения 5x² + 12x = 0 два корня: x₁ = 0 и x₂ = -12/5.

г) x² + 20x + 91 = 0:

Для начала, мы попытаемся разложить многочлен на множители, если это возможно. В данном случае, у нас нет простых множителей 91, которые в сумме дают 20, поэтому нам не удалось разложить многочлен на множители.

Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней этого уравнения. D = b² - 4ac.

Здесь, a = 1, b = 20 и c = 91. Подставим эти значения в формулу дискриминанта: D = 20² - 4 * 1 * 91.

Вычислим значение дискриминанта: D = 400 - 364 = 36.

Так как значение дискриминанта положительное, у уравнения есть два действительных корня.

Теперь найдём сами корни. Используем формулу: x = (-b ± √D) / (2a).

x₁ = (-20 + √36) / (2 * 1) = (-20 + 6) / 2 = -14 / 2 = -7.

x₂ = (-20 - √36) / (2 * 1) = (-20 - 6) / 2 = -26 / 2 = -13.

Ответ: У уравнения x² + 20x + 91 = 0 два корня: x₁ = -7 и x₂ = -13.

2. Поиск сторон прямоугольника:

Дано, что периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 36 квадратных сантиметров. Пусть стороны прямоугольника равны a и b (a - ширина, b - длина).

У нас есть два условия для периметра и площади прямоугольника.

Периметр: 2a + 2b = 26.
Площадь: ab = 36.

Для нахождения длин сторон прямоугольника, мы можем решить систему уравнений из этих двух условий.

Используем метод подстановки:
- Из первого уравнения находим a: a = 13 - b.
- Подставляем a во второе уравнение: (13 - b)b = 36.
- Получаем квадратное уравнение: b² - 13b + 36 = 0.

Разложим на множители: (b - 9)(b - 4) = 0.

Отсюда, b = 9 и b = 4.

Если b = 9, то a = 13 - 9 = 4.
Если b = 4, то a = 13 - 4 = 9.

Ответ: Длины сторон прямоугольника могут быть (a = 4, b = 9) или (a = 9, b = 4).

3. Нахождение другого корня и значения коэффициента:

Дано уравнение x² + px + 56 = 0, где один из корней равен -4.

Если один из корней уравнения равен -4, то это означает, что (x + 4) является одним из множителей данного уравнения.

Используя эти сведения, мы можем разложить данное уравнение на множители: (x + 4)(x + q) = 0, где q - это другой корень уравнения.

Раскроем скобки и решим уравнение: x² + qx + 4x + 4q = 0.

Складываем коэффициенты: x² + (q + 4)x + 4q = 0.

Сравниваем коэффициенты с исходным уравнением: x² + px + 56 = 0.

Сопоставляем коэффициенты и получаем систему уравнений:
q + 4 = p,
4q = 56.

В первом уравнении находим q: q = p - 4.
Подставляем q во второе уравнение: 4(p - 4) = 56.
Раскрываем скобки и решаем уравнение: 4p - 16 = 56.
Находим p: 4p = 72, p = 18.

Зная p, можем найти q: q = 18 - 4 = 14.

Ответ: Другой корень уравнения x² + px + 56 = 0 равен -14, а значение коэффициента p равно 18.