Вариант 1: Решите следующие задачи: 1. Перепишите неравенство как 11х - (3х + 4) ≤ 9х - 7. 2. Постройте график функции

Содержание: Решение задач по математике
Объяснение:

1. Для решения данного неравенства запишем все члены в виде одного монома: 11x - (3x + 4) ≤ 9x - 7. Раскроем скобки: 11x - 3x - 4 ≤ 9x - 7. Упростим выражение: 8x - 4 ≤ 9x - 7. Перенесем все члены с x на одну сторону и все свободные члены на другую: 8x - 9x ≤ -7 + 4. Выполняем вычисления: -x ≤ -3. Сменяем знак на противоположный, получаем: x ≥ 3. Ответ: x принадлежит или равно [-∞, 3].

2. Для построения графика функции f(x) = -x^2 – 6x – 5 воспользуемся методом вершинной формы. Найдем вершину параболы по формуле x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. Раскрываем скобки: f(x) = -x^2 – 6x – 5. Получаем a = -1 и b = -6. Подставляем значения в формулу: x = -(-6) / (2 * (-1)), x = 3. Теперь найдем значение функции в этой точке: f(3) = -3^2 – 6 * 3 – 5 = -9 – 18 – 5 = -32. Вершина параболы будет иметь координаты (3, -32).

3. Для определения промежутка, на котором функция убывает, нам нужно проанализировать знак коэффициента при x^2. В данной функции коэффициент a = -1 < 0, что означает, что парабола будет направлена вниз, а значит, функция будет убывать на всей числовой прямой.

4. Для нахождения множества решений задачи -x^2 – 6x – 5 ≤ 0, используем график функции. Находим точки пересечения графика с осью x. График будет пересекать ось x в точках (-5, 0) и (-1, 0). Заметим, что график функции находится ниже оси x в интервалах (-∞, -5) и (-1, ∞), а на оси x в точках (-5, 0) и (-1, 0). Следовательно, множество решений неравенства -x^2 – 6x – 5 ≤ 0 является интервалом (-∞, -5] и [-1, ∞).

5. Чтобы решить систему уравнений, сначала записываем ее: {уравнение 1, уравнение 2}. Затем приводим оба уравнения к одной переменной и приравниваем выражения: уравнение 1 = уравнение 2. Найденное значение переменной будет являться решением системы уравнений.

6. Для нахождения суммы первых семи членов арифметической прогрессии с третьим членом равным -5 и шестым членом равным 2.5, воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии: S = (n * (a1 + an)) / 2, где S - сумма членов, n - количество членов, a1 - первый член, an - последний член. Подставляем известные значения: n = 7, a1 = -5, an = 2.5. Выполняем вычисления: S = (7 * (-5 + 2.5)) / 2 = (-2.5) / 2 = -1.25. Сумма первых семи членов арифметической прогрессии равна -1.25.

7. Для решения этой задачи применим метод работы бригад. Если две бригады могут выполнить задание за 6 часов, работая вместе, это означает, что общая работа первой и второй бригад равна работе, которую они выполнили за 6 часов вместе. Далее, если первая бригада работает самостоятельно 2 часа и вторая бригада работает самостоятельно 3 часа, это означает, что они вместе суммарно работали 5 часов. Значит, оставшуюся часть работы они выполнить смогут за 6 - 5 = 1 час.

Совет: Для решения математических задач полезно составлять план действий, записывать все известные данные и изображать графики для наглядности.

Дополнительное упражнение: Решите задачу: После вычитания 8 из некоего числа и деления полученного результата на 4, мы получаем число -5. Какое это число?

Тема: Решение задач по алгебре и графике

Инструкция:
1. Неравенство можно решить следующим образом:
11х - (3х + 4) ≤ 9х - 7
8х - 4 ≤ 9х - 7
4 ≤ х - 7
11 ≤ х

2. График функции f(x) = -x^2 - 6x - 5 можно построить следующим образом:
Учитывая квадратное уравнение, мы можем использовать вершину параболы и направление ветвей для построения графика.
Вершина параболы будет (х, у), где х = -b / (2а) и у = f (х).
В данном случае, а = - 1, b = - 6 и с = - 5.
Подставляя значения в формулу, получаем х = 3 и у = -20.

3. Чтобы определить промежуток, на котором функция убывает, нужно найти интервал, где производная функции отрицательна. В данном случае, производная функции f"(x) = -2x - 6.
Устанавливаем f"(x) < 0:
-2x - 6 < 0
x > -3
Таким образом, функция убывает на интервале x > -3.

4. Чтобы найти множество решений неравенства -x^2 - 6x - 5 ≤ 0, используем график.
Находим точки пересечения графика с осью х, где функция равна 0:
-x^2 - 6x - 5 = 0
Решив квадратное уравнение, получим две точки пересечения: х = -5 и х = -1.
Учитывая, что неравенство меньше или равно, решением будет интервал между этими двумя точками, включая их.
Таким образом, множество решений неравенства -x^2 - 6x - 5 ≤ 0 будет [-5, -1].

5. Для решения системы уравнений необходимо представить ее в виде уравнений:
Уравнение 1: 2x + 3y = 7
Уравнение 2: x - y = 1

Можно решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения. Возьмем метод подстановки.
Решаем уравнение 2 относительно x:
x = y + 1

Подставляем в уравнение 1:
2(y + 1) + 3y = 7
2y + 2 + 3y = 7
5y + 2 = 7
5y = 5
y = 1

Подставляем найденное значение y в уравнение 2:
x = 1 + 1
x = 2

Полученное решение: x = 2, y = 1.

6. Для нахождения суммы первых семи членов арифметической прогрессии с третьим членом -5 и шестым членом 2.5, используем формулу суммы арифметической прогрессии:
S₇ = (n/2) * (2a₁ + (n - 1)d),
где S₇ - сумма первых семи членов, n - количество членов, a₁ - первый член, d - разность прогрессии.

Из условия известно: a₃ = -5, a₆ = 2.5.
Подставляем значения в формулу:
S₇ = (7/2) * (-5 + 6.5),
S₇ = (7/2) * 1.5 = 5.25.

Сумма первых семи членов арифметической прогрессии равна 5.25.

7. Для решения этой задачи сначала найдем сколько работы каждая бригада выполняет за 1 час, работая самостоятельно.
Первая бригада выполняет 1/6 работы за 1 час (так как она полностью выполняет только 2 часа из общего времени работы 6 часов).
Вторая бригада выполняет 1/6 работы за 1 час (так как она полностью выполняет только 3 часа из общего времени работы 6 часов).

Теперь мы знаем, что оставшаяся работа, которую должны выполнить обе бригады работая вместе, это 4/6 работы.
Таким образом, обе бригады работают вместе и выполняют 4/6 работы за 1 час.

Совет:
- Для более легкого понимания графиков функций можно использовать программы или онлайн-графикаторы.
- В случае задачи о системе уравнений полезно провести проверку, подставив найденные значения обратно в уравнения, чтобы убедиться, что они верны.
- При решении задач по арифметической прогрессии формула суммы Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ) может быть полезной, где n - количество членов, a₁ - первый член, aₙ - n-й член.
- Для задач, связанных с работой нескольких бригад, эффективность каждой бригады в час может использоваться для решения общего времени работы.

Ещё задача:
Решите следующую систему уравнений:
- 3x - 2y = 8
- 4x + 5y = 19