Сколько членов содержит геометрическая прогрессия, если сумма всех членов равна 170, первый член равен
Сколько членов содержит геометрическая прогрессия, если сумма всех членов равна 170, первый член равен 256 и знаменатель равен -1/2?
26.07.2024 09:32
Формула для суммы членов геометрической прогрессии:
S = a * (1 - q^n) / (1 - q)
где:
S - сумма всех членов прогрессии
a - первый член прогрессии
n - количество членов в прогрессии
q - знаменатель, в данном случае -1/2
Подставим известные значения в формулу и найдем количество членов в прогрессии:
170 = 256 * (1 - (-1/2)^n) / (1 - (-1/2))
Домножим обе стороны уравнения на знаменатель:
170 * (1 - (-1/2)) = 256 * (1 - (-1/2)^n)
Выполним простые вычисления:
170 * (3/2) = 256 * (1 - (-1/2)^n
Распишем произведения:
255 = 256 * (1 - (-1/2)^n)
Разделим обе стороны на 256:
255/256 = 1 - (-1/2)^n
Вычислим левую часть выражения:
0,9961 = 1 - (-1/2)^n
Избавимся от отрицательного знака:
0,9961 = 1 - (1/2)^n
Теперь найдем значение степени:
(1/2)^n = 1 - 0,9961
(1/2)^n = 0,0039
Возведем обе стороны в степень с основанием 2:
2^(n*log2(1/2)) = 2^(log2(0,0039))
Так как основания степени равны, то их можно убрать:
n * log2(1/2) = log2(0,0039)
Решим уравнение для n:
n = log2(0,0039) / log2(1/2)
Вычислим значения:
n ≈ -6,2877 / -1
n ≈ 6,2877
Ответ: Геометрическая прогрессия состоит из приблизительно 6 членов.