Решите неравенство (a-9)²x≤a²-81 для каждого значения параметра

Название: Решение неравенства с параметром

Объяснение: Чтобы решить данное неравенство, мы должны найти значения параметра a, при которых выполняется неравенство для любых значений переменной x.

1. Раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу (a-b)² = a² - 2ab + b². Получим: (a² - 18a + 81)x ≤ a² - 81.

2. Упростим выражение, вычитая a² из обеих частей неравенства: -18ax + 81x ≤ -81.

3. Полученное уравнение является линейным неравенством. Чтобы найти значения параметра a, которые удовлетворяют неравенству для любых значений x, необходимо учесть два случая:

- Если коэффициент при переменной x равен 0 (-18a + 81 = 0), это значит, что неравенство выполняется при любых значениях a. Решим уравнение: -18a + 81 = 0. Получаем a = 81/18 = 9/2.

- Если коэффициент при переменной x не равен 0 (-18a + 81 ≠ 0), то мы можем разделить обе части неравенства на этот коэффициент (-18a + 81): -18ax/(-18a + 81) + 81x/(-18a + 81) ≤ -81/(-18a + 81). Неравенство меняет направление при делении на отрицательное значение. Отсюда получаем: x ≥ 81/(-18a + 81).

Доп. материал: Решим неравенство (a-9)²x≤a²-81 для значения параметра a = 4.

1. Подставим значение a = 4 в неравенство: (4-9)²x ≤ 4²-81.

2. Раскроем скобки и упростим: (-5)²x ≤ 16-81.

3. Получаем: 25x ≤ -65.

4. Разделим обе части неравенства на 25 (учитывая, что коэффициент перед переменной x не равен 0): x ≥ -65/25 = -13/5.

Таким образом, для значения параметра a = 4 неравенство выполняется при x ≥ -13/5.

Совет: Для более легкого понимания решения данного типа неравенств рекомендуется знать основы алгебры, включая правила работы со скобками и решение линейных уравнений. Также полезно знать, как работать с параметрами в уравнениях и неравенствах.

Проверочное упражнение: Решите неравенство (a-7)²x ≤ a²-49 для каждого значения параметра a.

Решение неравенства (a-9)²x≤a²-81 для каждого значения параметра:

Давайте посмотрим на данное неравенство и найдем его решение для каждого значения параметра a.

Первым шагом, раскроем скобки в левой части уравнения, применяя правило квадрата разности:
(a-9)² = a² - 18a + 81

Теперь решим неравенство:
(a² - 18a + 81)x ≤ a² - 81

Раскроем скобки и упростим выражение:

a²x - 18ax + 81x ≤ a² - 81

Теперь сгруппируем все константы на одну сторону неравенства, а все переменные на другую:

a²x - 18ax - a² + 81x + 81 ≤ -81

Упростим это выражение:

(a² - a²)x - 18ax + 81x + 81 + 81 ≤ -81

Теперь объединим подобные слагаемые:

-18ax + 81x + 162 ≤ -81

Получили уравнение, которое можно решить относительно переменной x:

-18ax + 81x ≤ -81 - 162

-18ax + 81x ≤ -243

Теперь найдем значения параметра a, для которых это уравнение выполняется:

-18a + 81 ≤ -243

Решим это уравнение, чтобы найти значения a:

-18a ≤ -243 - 81

-18a ≤ -324

a ≥ -324/-18

a ≥ 18

Итак, для всех значений параметра a, которые больше или равны 18, данное неравенство выполняется.