Проверить, является ли множество многочленов L={p(t)}, заданного в виде с вещественными коэффициентами, линейным

Задача: Проверить, является ли множество многочленов L={p(t)}, заданного в виде с вещественными коэффициентами, линейным подпространством в линейном пространстве P2 многочленов степени не выше 2. Определить размерность и базис L, расширить его до базиса всего P2. Найти координаты многочлена h(t) €L в этом базисе.

Объяснение:
Чтобы определить, является ли множество L линейным подпространством в линейном пространстве P2, нам необходимо проверить три условия: замкнутость относительно сложения, замкнутость относительно умножения на скаляр и наличие нулевого элемента.

1. Замкнутость относительно сложения:
Если p(t) и q(t) являются многочленами из L, то их сумма p(t) + q(t) также должна принадлежать L. Сложение многочленов происходит поэлементно, поэтому каждый коэффициент суммы многочленов будет являться суммой соответствующих коэффициентов исходных многочленов. Таким образом, условие замкнутости относительно сложения выполняется.

2. Замкнутость относительно умножения на скаляр:
Если p(t) является многочленом из L, а α - любым вещественным числом, то произведение αp(t) должно быть также многочленом из L. Умножение каждого коэффициента многочлена на скаляр α сохраняет его принадлежность к вещественным числам, поэтому условие замкнутости относительно умножения на скаляр выполняется.

3. Нулевой элемент:
Для того, чтобы множество L было линейным подпространством, оно должно содержать нулевой элемент, то есть многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю. В данном случае, нулевым элементом является многочлен p(t) = 0.

Таким образом, множество L={p(t)} является линейным подпространством в линейном пространстве P2 многочленов степени не выше 2.

Размерность и базис L в линейном пространстве P2:
Поскольку L является подпространством в P2, его размерность не может превышать размерность P2, а именно - 3. Кроме того, для того чтобы определить базис L, надо найти линейно независимую систему многочленов, сумма любых двух многочленов которой будет принадлежать L. В данном случае, возьмем базисными многочлены: {1, t, t^2}.

Расширение базиса L до базиса всего P2:
Для того чтобы расширить базис L до базиса всего P2, необходимо добавить к базису L линейно независимые многочлены, отсутствующие в базисе L. В данном случае, они могут быть следующими: {1, t, t^2, t^3, t^4}.

Нахождение координат многочлена h(t) € L в данном базисе:
Для нахождения координат многочлена h(t) € L в данном базисе, необходимо представить многочлен h(t) в виде линейной комбинации базисных многочленов и записать коэффициенты при этих многочленах. Коэффициенты будут являться координатами многочлена h(t) в данном базисе.

Демонстрация:
Пусть h(t) = 2t^2 + 3. Мы хотим найти координаты многочлена h(t) в базисе {1, t, t^2}.
Для этого необходимо представить многочлен h(t) в виде линейной комбинации базисных многочленов:
h(t) = a*1 + b*t + c*t^2, где a, b, c - координаты искомого многочлена h(t) в данном базисе.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему уравнений:
2t^2 + 3 = a*1 + b*t + c*t^2

Система принимает вид:
2 = a
0 = b
3 = c

Таким образом, координаты многочлена h(t) в данном базисе: a = 2, b = 0, c = 3.

Совет:
Для лучшего понимания линейных подпространств и нахождения базисов, рекомендуется изучать линейную алгебру, включая понятия линейной независимости и размерности подпространств. Также полезно освоить методы решения систем линейных уравнений.

Задача для проверки:
Пусть L - множество многочленов p(t) степени не выше 2 с вещественными коэффициентами. Проверьте, является ли L линейным подпространством в линейном пространстве всех многочленов степени не выше 2. Найдите размерность и базис L, а также координаты многочлена g(t) € L в данном базисе.