Проверить наличие условного экстремума у функции двух переменных z = 2x - y + 1, при условии x2 – y

Название: Проверка наличия условного экстремума у функции двух переменных.

Пояснение: Для проверки наличия условного экстремума у функции двух переменных z = 2x - y + 1, при условии x^2 – y = 9, мы будем использовать метод множителей Лагранжа.

Шаг 1: Запишем лагранжиан функции:
L(x, y, λ) = 2x - y + λ(x^2 - y - 9)

Шаг 2: Найдем частные производные по переменным x, y и λ и приравняем их к нулю:
∂L/∂x = 2 + 2λx = 0
∂L/∂y = -1 - λ = 0
∂L/∂λ = x^2 - y - 9 = 0

Шаг 3: Решим систему уравнений, найдя значения переменных x, y и λ:
Из уравнения ∂L/∂y = -1 - λ = 0 получаем λ = -1.

Подставляем λ = -1 в первое уравнение:
2 + 2(-1)x = 0
2 - 2x = 0
2 = 2x
x = 1

Подставляем x = 1 в уравнение ∂L/∂λ = x^2 - y - 9 = 0:
1^2 - y - 9 = 0
1 - y - 9 = 0
-y - 8 = 0
y = -8

Шаг 4: Подставляем найденные значения x и y обратно в исходную функцию z = 2x - y + 1:
z = 2(1) - (-8) + 1
z = 2 + 8 + 1
z = 11

Ответ: У функции двух переменных z = 2x - y + 1, при условии x^2 – y = 9, точка (1, -8) является точкой условного экстремума, где значение функции равно 11.

Например: Найдите точку условного экстремума для функции z = 2x - y + 1 при условии x^2 – y = 9.

Совет: Чтобы лучше понять метод множителей Лагранжа, рекомендуется изучить тему оптимизации с ограничениями и основные принципы математического анализа.

Задание: Решите задачу проверки условного экстремума для функции z = x^2 + y^2 при условии x + y = 8.