Предоставьте доказательство неравенства x^2+9y^4+1 ≥ -3xy^2-x+3y^2

Неравенство в задаче: x^2+9y^4+1 ≥ -3xy^2-x+3y^2

Пояснение: Для доказательства данного неравенства, мы должны использовать математические преобразования и свойства неравенств.

Начнем с преобразования исходного неравенства:

x^2 + 9y^4 + 1 ≥ -3xy^2 - x + 3y^2

Добавим x^2 и вычтем x с обеих сторон:

2x^2 + 10y^4 + x + 1 ≥ -3xy^2 + 3y^2

Перегруппируем слагаемые:

2x^2 + x + 10y^4 + 3y^2 + 1 ≥ -3xy^2 + 3y^2

Теперь объединим подобные члены:

2x^2 + x + 10y^4 + 3y^2 + 1 ≥ (3y^2 - 3xy^2) + 3y^2

Упростим выражение:

2x^2 + x + 10y^4 + 3y^2 + 1 ≥ 3y^2(1 - x) + 3y^2

Теперь упростим правую часть:

2x^2 + x + 10y^4 + 3y^2 + 1 ≥ 3y^2(1 - x) + 3y^2

2x^2 + x + 10y^4 + 3y^2 + 1 ≥ 3y^2 - 3xy^2 + 3y^2

2x^2 + x + 10y^4 + 3y^2 + 1 ≥ 6y^2 - 3xy^2

Теперь вычтем 6y^2 с обеих сторон:

2x^2 + x + 10y^4 - 3y^2 + 1 ≥ -3xy^2

Теперь избавимся от выражения 10y^4 - 3y^2, которое несет положительный вклад в левую часть:

2x^2 + x + 1 ≥ -3xy^2

Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство x^2+9y^4+1 ≥ -3xy^2-x+3y^2 выполняется для всех значений x и y.

Совет: Для успешного доказательства неравенства рекомендуется применять свойства неравенств и математические преобразования, чтобы упростить исходное неравенство и привести его к более простой форме.

Задание: Докажите, что неравенство 2x^3 + 4x^2 + 7 ≥ -3x^3 - 2x^2 - x + 1 выполняется для всех значений x.

Название: Доказательство неравенства x^2+9y^4+1 ≥ -3xy^2-x+3y^2

Пояснение: Для доказательства данного неравенства, мы можем использовать метод покажем, что выражение слева больше или равно выражению справа для любых значений переменных x и y. Для начала, распишем оба выражения:

Выражение слева: x^2+9y^4+1
Выражение справа: -3xy^2-x+3y^2

Для доказательства неравенства, докажем, что каждый член выражения слева больше или равен соответствующему члену выражения справа.

1. Первый член:
x^2 ≥ -3xy^2

Мы можем привести это выражение к виду x(x + 3y^2) ≥ 0. Так как произведение двух чисел будет больше или равно нулю только в том случае, если оба числа либо положительны, либо отрицательны, то неравенство выполняется для любых значений x и y.

2. Второй член:
9y^4 ≥ -x

Это выражение выполняется для любых значения y, так как возведение в четвертую степень положительного или отрицательного числа всегда больше или равно нулю.

3. Третий член:
1 ≥ 3y^2

Это третье неравенство также выполняется для любых значений y.

Таким образом, мы доказали, что все члены выражения слева больше или равны соответствующим членам выражения справа для любых значений x и y, а значит, неравенство x^2+9y^4+1 ≥ -3xy^2-x+3y^2 выполняется.

Например: Докажите неравенство x^2+9y^4+1 ≥ -3xy^2-x+3y^2 при заданных значениях x = 2 и y = -1.

Совет: Чтобы лучше понять доказательства неравенств, полезно знать, какие свойства чисел можно использовать и какие операции можно применять для преобразования неравенств.

Задание: Докажите неравенство 2x^2 - 5x + 3 ≥ 0 для всех значений переменной x.