Постройте график функции f(x), где f(x)={x2+2x,еслиx∈[−4;1]x−−√+2,еслиx∈(1;4]. Найдите: 1. Интервалы, на которых

График функции f(x)

Инструкция:
Для построения графика функции f(x), где f(x)={x^2+2x, если x∈[-4;1], √(x−2)+2, если x∈(1;4]}, мы должны разделить область определения функции на две части: x∈[-4;1] и x∈(1;4].

На первом интервале [-4;1] функция f(x) равна x^2+2x. Мы можем построить график этой функции, используя знаки минуса и плюса перед x. При x=-4, f(x) будет равно 16-8=8. При x=1, f(x) будет равно 1+2=3. Таким образом, мы имеем точки (-4, 8) и (1, 3) на графике.

На втором интервале (1;4] функция f(x) равна √(x−2)+2. Это квадратный корень функции (x-2), сдвинутый вверх на 2 единицы. Нам также нужно выбрать значения x, чтобы подставить их в формулу и получить соответствующие значения y. Например, при x=3, f(x) будет равно √(3-2)+2=√1+2=3. Таким образом, у нас есть точка (3, 3) на графике.

Теперь мы можем соединить эти точки линией, чтобы построить график функции f(x).

Например:

Задача: Постройте график функции f(x), где f(x)={x^2+2x, если x∈[-4;1], √(x−2)+2, если x∈(1;4]}.



Решение: 

1. Для первого интервала [-4;1]:

   - При x=-4, f(x) = (-4)^2 + 2*(-4) = 16 - 8 = 8.

   - При x=1, f(x) = 1^2 + 2*1 = 1 + 2 = 3.

   - Таким образом, у нас есть точки (-4, 8) и (1, 3) на графике.



2. Для второго интервала (1;4]:

   - При x=3, f(x) = √(3-2) + 2 = √1 + 2 = 3.

   - Таким образом, у нас есть точка (3, 3) на графике.



3. Теперь мы можем соединить точки линией и получить график функции f(x).

Совет:
Чтобы более понятно построить график функции f(x), можно использовать графический калькулятор или программу для построения графиков. Это поможет визуализировать функцию и точки, которые нужно соединить.

Ещё задача:
Постройте график функции f(x), где f(x)={x^2+2x, если x∈[-4;1], √(x−2)+2, если x∈(1;4]}.

Построение графика функции f(x):

Для построения графика данной функции, нам необходимо разбить область определения функции на интервалы и рассмотреть поведение функции на каждом из них.

1. Для x ∈ [-4; 1], функция f(x) = x^2 + 2x. На этом интервале функция является параболой, направленной вверх, поскольку коэффициент при x^2 положительный. Интервал, на котором функция возрастает: x ∈ [-4; 1].

2. Для x ∈ (1; 4], функция f(x) = sqrt(x) + 2. На этом интервале функция является корнем сдвинутым влево на 2 единицы. Интервал, на котором функция возрастает: x ∈ (1; 4].

3. Функция имеет разрыв в точке x = 1. Для x = 1, функция принимает значение f(1) = 1^2 + 2*1 = 3.

Составляем таблицу значений функции для интервалов [-4; 1) и (1; 4]:

| x | f(x) |
|------|------------|
| -4 | -12 |
| -3 | -9 |
| -2 | -6 |
| -1 | -3 |
| 1 | 3 |
| 2 | 2 + 2 = 4 |
| 3 | 3 + 2 = 5 |
| 4 | 4 + 2 = 6 |

1. Интервалы, на которых функция возрастает: x ∈ (-1; 4), x ∈ [-1; 4], x ∈ (0; 4].
Интервалы, на которых функция убывает: x ∈ (-4; -1), x ∈ [-4; -1), x ∈ (-4; -2), x ∈ [-4; -1].

2. Экстремумы функции: Функция имеет минимум в точке x = 1, f(1) = 3.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции: Наименьшее значение функции составляет 3, а наибольшее значение - 6.

4. Интервалы, на которых функция имеет постоянный знак: Функция f(x) > 0 на интервале (-∞; -4) и (0; ∞), и f(x) < 0 на интервале (-4; -1).

5. Четность/нечетность функции: Для функции f(x) = x^2 + 2x + sqrt(x) + 2, нельзя сказать, является ли она четной или нечетной, поскольку она содержит как четные (x^2 и 2), так и нечетные (sqrt(x)) слагаемые.

6. Нули функции и точки пересечения с осями: Нули функции можно найти, приравняв f(x) к нулю и решив квадратное уравнение x^2 + 2x = 0. Получаем x(x + 2) = 0, следовательно, x = 0 или x = -2. Точки пересечения с осями x и y: (0, 2) и (-2, 0).

Закрепляющее упражнение: Найдите значение функции f(x) при x = -3.