Подтвердите, что функция f(x) является первообразной для функции f(x), при условии: f(x) = 6x^5 + ln6x и f(x) = 30x^4

Тема занятия: Первообразная функция

Инструкция:
Первообразная функция - это функция, производная которой равна заданной функции. Другими словами, если задана функция f(x), то F(x) называется первообразной этой функции, если F"(x) = f(x).

Для данной задачи, у нас есть две функции f(x) = 6x^5 + ln(6x) и f(x) = 30x^4 + 1/x, и мы должны подтвердить, что одна из них является первообразной для другой.

Решим первую функцию f(x) = 6x^5 + ln(6x):
Для того чтобы найти первообразную этой функции, нам необходимо взять интеграл от этой функции.

Интегрируем каждый член по отдельности:
∫6x^5 dx + ∫ln(6x) dx

1) Интегрируем 6x^5 dx:
Интегрируя по правилу степенной функции, мы получаем:
= (6/6) * x^6 + C1
= x^6 + C1

2) Интегрируем ln(6x) dx:
Используя метод интеграции методом подстановки (замены переменной) и правило интегрирования ln(u), мы получаем:
= (1/6) * (6x * ln(6x) - 6x) + C2
= x * ln(6x) - x + C2

Итак, первообразная функция для f(x) = 6x^5 + ln(6x) равна F(x) = x^6 + x * ln(6x) - x + C, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь мы можем подтвердить, что это первообразная функция для f(x) = 30x^4 + 1/x, подставив первообразную в производную функции f(x) и убедившись, что получим исходную функцию.

Производная от F(x) равна:
F"(x) = (d/dx)(x^6 + x * ln(6x) - x + C)
= 6x^5 + ln(6x) + 1 - 1
= 6x^5 + ln(6x)

Таким образом, подтверждаем, что функция F(x) = x^6 + x * ln(6x) - x является первообразной для функции f(x) = 6x^5 + ln(6x).

Например:
Дана функция f(x) = 30x^4 + 1/x. Найдите первообразную этой функции.

Совет:
Для эффективного решения задач, связанных с нахождением первообразных функций, рекомендуется знать основные правила интегрирования и выполнять этапы по очереди. Также полезно практиковаться в решении различных примеров задач для закрепления навыков.

Задание для закрепления:
Найдите первообразную функции f(x) = 3x^2 + cos(x).