Подтвердите, что для всех натуральных значений n выражение 3 * 8^2n+1 + 62 * 21^n является кратным

Тема урока: Доказательство делимости

Пояснение: Для доказательства, что выражение 3 * 8^2n+1 + 62 * 21^n является кратным, мы можем использовать метод математической индукции.

1. Базовый шаг: Рассмотрим случай, когда n = 1.
Подставим n = 1 в выражение: 3 * 8^2(1)+1 + 62 * 21^(1).
Получим: 3 * 8^3 + 62 * 21.
Заметим, что 8^3 = 8 * 8^2, и 21 = 3 * 7.
Выражение можно переписать следующим образом: 3 * 8 * 8^2 + 62 * 3 * 7.
Факторизуем общий множитель 3: 3 * (8 * 8^2 + 62 * 7).
Теперь мы видим, что выражение является кратным числу 3.

2. Предположение индукции: Предположим, что для произвольного, но фиксированного значения k, выражение 3 * 8^2k+1 + 62 * 21^k является кратным.

3. Индукционный шаг: Докажем, что для k+1 выражение также является кратным.
Рассмотрим выражение для случая k+1: 3 * 8^2(k+1)+1 + 62 * 21^(k+1).
Мы можем представить его в виде: 3 * 8^(2k+3) + 62 * 21^(k+1).
Заметим, что 8^(2k+3) = 8^2k * 8^3, и 21^(k+1) = 21^k * 21.
Выражение можно переписать так: 3 * 8^2k * 8^3 + 62 * 21^k * 21.
Затем факторизуем общий множитель 8: 3 * 8^2k * (8^3 + 62/8 * 21).
Также, факторизуем общий множитель 21: 3 * 8^2k * (8^3 + 62/8 * 3 * 7).
Мы видим, что оба множителя кратны числу 3.
Таким образом, мы можем заключить, что выражение 3 * 8^2n+1 + 62 * 21^n является кратным для всех натуральных значений n.

Совет: Для лучшего понимания математической индукции, рекомендуется внимательно изучить принцип индукции и примеры решения задач с его использованием. Также полезно разбирать задачи постепенно и следить за каждым шагом решения.

Практика: Докажите, что для всех натуральных значений m, выражение 4 * 5^(2m+1) + 23 * 10^m является кратным числу 4.