Подскажите, при каком значении m функция f(x) = x^2 * √(m-x) имеет точки экстремума в x=0 и x=6?

Содержание вопроса: Определение значений m для функции с точками экстремума

Инструкция:
Для определения значений m, при которых функция f(x) = x^2 * √(m-x) имеет точки экстремума в точках x=0 и x=6, мы должны использовать производные функции.

Для начала найдем первую производную функции f"(x). Для этого будем использовать правило производной произведения двух функций. Получим:

f"(x) = (2x * √(m-x)) + (x^2 * (1/2√(m-x) * (-1)))

Далее, чтобы найти точки экстремума, приравниваем f"(x) к нулю:

(2x * √(m-x)) + (x^2 * (1/2√(m-x) * (-1))) = 0

Упростим это уравнение:

2x * √(m-x) - (x^2 / 2√(m-x)) = 0

Умножим оба члена на 2√(m-x), чтобы избавиться от знаменателя:

4x(m-x) - x^2 = 0

4xm - 4x^2 - x^2 = 0

4xm - 5x^2 = 0

Факторизуем это уравнение, чтобы найти значения x:

x(4m - 5x) = 0

Отсюда следует, что x = 0 или 4m - 5x = 0.

При x = 0, у нас есть точка экстремума.
Для x = 6:

4m - 5x = 0
4m - 5 * 6 = 0
4m - 30 = 0
4m = 30
m = 30 / 4
m = 7.5

Итак, функция f(x) = x^2 * √(m-x) имеет точки экстремума в x = 0 (при любом значении m) и x = 6 (при m = 7.5).

Совет:
Для более подробного понимания темы, рекомендуется изучать раздел о производных функций и их применении для определения экстремумов.

Проверочное упражнение:
Найдите значения m, при которых функция f(x) = x^3 * √(m-x^2) имеет точку экстремума в x = 2.