Под какими значениями x f(x) является положительной? Под какими значениями x f(x) является отрицательной?

Содержание: Анализ функций

Инструкция: Чтобы определить, при каких значениях x функция f(x) является положительной или отрицательной, мы должны рассмотреть знак функции на каждом из интервалов между корнями и точками разрыва.

1. Найдите корни функции f(x), то есть значения x, при которых f(x) равно нулю. Для этого приравняйте f(x) к нулю и решите уравнение для x. Полученные значения x будут корнями функции.

2. Разделите ось x на интервалы, используя корни, найденные в предыдущем шаге. Например, если корни функции f(x) равны x1 и x2, то мы можем выбрать любое значение x между x1 и x2 для каждого интервала.

3. Подставьте значения x из каждого интервала в функцию f(x) и определите знак результата. Если f(x) положительна, то функция положительна на данном интервале. Если f(x) отрицательна, то функция отрицательна на данном интервале.

4. Повторите шаги 2-3 для всех интервалов на оси x, созданных в предыдущем шаге. Таким образом, вы определите, при каких значениях x функция f(x) является положительной или отрицательной.

Дополнительный материал:
Пусть у нас есть функция f(x) = x^2 - 4x - 5. Найдем корни этой функции:
x^2 - 4x - 5 = 0
(x + 1)(x - 5) = 0
Корни: x = -1 и x = 5.

Теперь разделим ось x на три интервала: (-∞, -1), (-1, 5), (5, +∞).

Подставим значения x из каждого интервала в функцию f(x):

- При x < -1: f(x) = (-)^2 - 4(-) - 5 = +1 + 4 - 5 = 0. Знак - отрицательный.
- При -1 < x < 5: f(x) = (+)^2 - 4(+) - 5 = +1 - 4 - 5 = -8. Знак - отрицательный.
- При x > 5: f(x) = (+)^2 - 4(+) - 5 = +1 - 4 - 5 = -8. Знак - отрицательный.

Поэтому функция f(x) положительна при x < -1.

Совет: Для лучшего понимания и визуализации функции, построите ее график на координатной плоскости. График позволяет визуально определить, где функция положительна и отрицательна.

Задание для закрепления: Найдите значения x, при которых функция f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 9 является положительной и отрицательной.