Определите интервалы, на которых функция возрастает и убывает. Функция уменьшается [ ; ] Функция увеличивается

Суть вопроса: Анализ возрастания и убывания функции

Объяснение: Для определения интервалов, на которых функция возрастает и убывает, нам необходимо проанализировать производную функции. Если производная положительна на каком-то интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, то функция убывает на этом интервале.

Чтобы найти максимальное значение функции, мы должны найти ее критические точки. Критические точки функции - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Максимальное значение функции будет находиться в одной из этих точек или на границах заданного интервала.

Демонстрация:
Задана функция y = x^2 - 2x + 1. Давайте найдем интервалы, на которых функция возрастает и убывает, а также максимальное значение функции.

1. Рассчитаем производную функции: y" = 2x - 2.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 2x - 2 = 0. Получаем x = 1.
3. Разделим интервалы на две части: (-бесконечность, 1) и (1, +бесконечность).
4. Выберем точку из каждого интервала и проверим знак производной. Например, возьмем x = 0 для первого интервала: y" = 2(0) - 2 = -2, что означает, что функция убывает на интервале (-бесконечность, 1).
5. Для второго интервала можно взять x = 2: y" = 2(2) - 2 = 2, значит, функция возрастает на интервале (1, +бесконечность).
6. Чтобы найти максимальное значение функции, подставим критическую точку в функцию: y(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0.

Таким образом, функция убывает на интервале (-бесконечность, 1), возрастает на интервале (1, +бесконечность), и максимальное значение функции составляет 0.

Совет: Для лучшего понимания анализа возрастания и убывания функции, рекомендуется изучить основные свойства производных и уметь находить критические точки функции.

Задача на проверку: Найти интервалы, на которых функция f(x) = -2x^3 + 9x^2 - 12x возрастает и убывает, а также найти максимальное значение функции.