Какие значения x являются стационарными точками функции y=x3/3-3x 2+5x-2?

Тема урока: Стационарные точки функции

Разъяснение: Стационарные точки функции - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Для найденных таких точек можно провести анализ поведения функции вокруг них, определить экстремумы и перегибы функции.

Для данной функции y=x^3/3-3x^2+5x-2, чтобы найти стационарные точки, нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Производная функции y по переменной x (y") равна y"=x^2-6x+5. Приравниваем ее к нулю: x^2-6x+5=0.

Далее, мы можем решить этот квадратный трехчлен, используя метод дискриминанта или факторизацию.

Вычисляя дискриминант по формуле D=b^2-4ac, где a=1, b=-6 и c=5, получаем D=(-6)^2-4*1*5=36-20=16. Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Рассмотрим два случая:
1) Если дискриминант D>0, то уравнение имеет два различных решения. Найдем корни уравнения x^2-6x+5=0. Применяя формулу квадратного корня x= (-(-6)±√16)/2 = (6±4)/2. Таким образом, имеем два решения: x1=(6+4)/2=5 и x2=(6-4)/2=1.

2) Если дискриминант D=0, то уравнение имеет одно решение. В данном случае, корень уравнения x^2-6x+5=0 равен x=-b/2a = -(-6)/(2*1) = 3.

Таким образом, стационарные точки функции y=x^3/3-3x^2+5x-2 равны x1=5, x2=1 и x=3.

Совет: Для лучшего понимания стационарных точек и процесса их нахождения, рекомендуется изучить темы нахождения производной функции и решения квадратных уравнений.

Задача для проверки: Найдите стационарные точки для функции y=2x^3-9x^2+12x+4.

Содержание: Стационарные точки функции

Объяснение: Стационарные точки функции являются точками, где производная функции равна нулю или не существует. Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения x, при которых производная функции y=x^3/3-3x^2+5x-2 равна нулю. Чтобы найти производную функции, нужно взять производную каждого слагаемого и сложить их.

Производная функции y равна y" = (1/3)x^2 - 6x + 5. Чтобы найти стационарные точки, нужно приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

(1/3)x^2 - 6x + 5 = 0.

Можно решить это уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного уравнения.

Для нахождения стационарных точек нужно решить уравнение (1/3)x^2 - 6x + 5 = 0. Можно решить это уравнение с помощью дискриминанта и формулы корней:

D = b^2 - 4ac, где a = 1/3, b = -6 и c = 5.

D = (-6)^2 - 4*(1/3)*(5) = 36 - (20/3) = 36 - 20/3 = 108/3 - 20/3 = 88/3.

Теперь находим корни уравнения:

x1 = (-b + sqrt(D))/2a, x2 = (-b - sqrt(D))/2a.

x1 = (6 + sqrt(88/3))/(2*(1/3)) = (18 + sqrt(88))/2 = 9 + sqrt(88)/2.

x2 = (6 - sqrt(88/3))/(2*(1/3)) = (18 - sqrt(88))/2 = 9 - sqrt(88)/2.

Таким образом, стационарными точками функции являются x1 = 9 + sqrt(88)/2 и x2 = 9 - sqrt(88)/2.

Совет: Для успешного решения данной задачи, убедитесь, что вы знаете, как находить производную функции и решать квадратные уравнения. Это важные навыки в алгебре и математике.

Проверочное упражнение: Найдите стационарные точки функции y = x^3/3 - 3x^2 + 4x.