Необходимо доказать тождество: (sin^2(x+y) + sin^2(x-y)) ÷ (2cos^2x * cos^2y) = tg^2x + tg^2y - 2sin^2(x) * sin^2(y

Предмет вопроса: Доказательство тождества с тригонометрическими функциями
Разъяснение: Для начала, рассмотрим левую часть тождества и посмотрим, как ее преобразовать:
(sin^2(x+y) + sin^2(x-y)) ÷ (2cos^2x * cos^2y)

Мы можем преобразовать числитель, заметив, что sin^2(x+y) + sin^2(x-y) = 2sin^2x * cos^2y + 2cos^2x * sin^2y. Это следует из формулы сложения тригонометрических функций sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB и sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB.

Теперь, подставим этот результат в исходное тождество:
(2sin^2x * cos^2y + 2cos^2x * sin^2y) ÷ (2cos^2x * cos^2y)

Мы можем сократить 2 в числителе и знаменателе:
(sin^2x * cos^2y + cos^2x * sin^2y) ÷ (cos^2x * cos^2y)

Заметим, что числитель можно представить в виде (sin^2x * cos^2y + cos^2x * sin^2y) = sin^2x * cos^2y + cos^2x * sin^2y * (cos^2x * cos^2y ÷ cos^2x * cos^2y) = sin^2x * cos^2y + cos^2x * sin^2y * 1 = sin^2x * cos^2y + cos^2x * sin^2y.

Теперь, снова подставим этот результат в исходное тождество:
(sin^2x * cos^2y + cos^2x * sin^2y) ÷ (cos^2x * cos^2y)

Мы можем сократить sin^2x и cos^2x в числителе и знаменателе:
1 ÷ 1

Таким образом, левая часть равна правой части, и тождество доказано.

Например:
Доказать тождество: (sin^2(x+y) + sin^2(x-y)) ÷ (2cos^2x * cos^2y) = tg^2x + tg^2y - 2sin^2(x) * sin^2(y).

Совет: Для упрощения и преобразования тригонометрических выражений, полезно знать основные тригонометрические тождества, такие как формулы сложения, вычитания, удвоения и приведения. Практикуйтесь в решении многочисленных задач, чтобы лучше понять и применять эти тождества в различных ситуациях.

Задание для закрепления: Доказать тождество: (cos^2(x+y) + cos^2(x-y)) ÷ (2sin^2x * sin^2y) = ctg^2x + ctg^2y - 2cos^2(x) * cos^2(y).